Тест Дики — Фуллера
Тест Дики — Фуллера (DF-тест, Dickey — Fuller test) — это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Является одним из тестов на единичные корни (Unit root test). Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики и Уэйном Фуллером[1].
За вклад в исследование коинтегрированных процессов с использованием предложенного теста Дики — Фуллера проверки на стационарность, в 2003 году Клайв Грейнджер получил Нобелевскую премию по экономике[2].
Понятие единичного корня
Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как если ряд первых разностей является стационарным .
При помощи этого теста проверяют значение коэффициента в авторегрессионном уравнении первого порядка AR(1)
где — временной ряд, а — ошибка.
Если , то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд не стационарен, является интегрированным временным рядом первого порядка — . Если , то ряд стационарный — .
Для финансово-экономических процессов значение не свойственно, так как в этом случае процесс является «взрывным». Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.
Сущность DF-теста
Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде[3]:
где , а — оператор разности первого порядка .
Поэтому проверка гипотезы о единичном корне в данном представлении означает проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента . Поскольку случай «взрывных» процессов исключается, то тест является односторонним, то есть альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что коэффициент меньше нуля. Статистика теста (DF-статистика) — это обычная -статистика для проверки значимости коэффициентов линейной регрессии. Однако, распределение данной статистики отличается от классического распределения -статистики (распределение Стьюдента или асимптотическое нормальное распределение). Распределение DF-статистики выражается через винеровский процесс и называется распределением Дики — Фуллера.
Существует три версии теста (тестовых регрессий):
- Без константы и тренда
- С константой, но без тренда:
- С константой и линейным трендом:
Для каждой из трёх тестовых регрессий существуют свои критические значения DF-статистики, которые берутся из специальной таблицы Дики — Фуллера (МакКиннона). Если значение статистики лежит левее критического значения (критические значения — отрицательные) при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза о единичном корне отклоняется и процесс признается стационарным (в смысле данного теста). В противном случае гипотеза не отвергается и процесс может содержать единичные корни, то есть быть нестационарным (интегрированным) временным рядом.
Критические значения статистики Дики — Фуллера
Критические значения статистики Дики — Фуллера при 1%-ном уровне значимости:
| Размер выборки | AR-модель | AR-модель с константой | AR-модель с константой и трендом |
|---|---|---|---|
| 25 | -2,66 | -3,75 | -4,38 |
| 50 | -2,62 | -3,58 | -4,15 |
| 100 | -2,60 | -3,51 | -4,04 |
| -2,58 | -3,43 | -3,96 |
Для сравнения критическое значение распределения Стьюдента для всех моделей на больших объёмах выборки — 2,33, на малых выборках — 2,5. МакКинноном также выведены приблизительные формулы для оценки критических значений.
Расширенный тест Дики — Фуллера (ADF)
Если в тестовые регрессии добавить лаги первых разностей временного ряда, то распределение DF-статистики (а значит, критические значения) не изменится. Такой тест называют расширенным тестом Дики — Фуллера (Augmented DF, ADF).
Необходимость включения лагов первых разностей связана с тем, что процесс может быть авторегрессией не первого, а более высокого порядка. Рассмотрим на примере модели AR(2):
Данную модель можно представить в виде:
Если временной ряд имеет один единичный корень, то первые разности по определению стационарны. А поскольку по предположению нестационарен, то если коэффициент при нём не равен нулю, уравнение противоречиво. Таким образом, из предположения об интегрированности первого порядка для такого ряда следует, что . Таким образом, для проверки наличия единичных корней в данной модели следует провести стандартный DF-тест для коэффициента при , причем в тестовую регрессию должен быть добавлен лаг первой разности зависимой переменной.
Кроме указанной причины также существует и другая — ошибки модели могут не быть белым шумом, а быть некоторым стационарным ARMA-процессом, поэтому следует проверить наличие единичного корня для нескольких лагов. Следует, однако учесть, что увеличение числа лагов приводит к снижению мощности теста. Обычно ограничиваются тремя-четырьмя лагами.
Замечание
Тест Дики — Фуллера, как и многие другие тесты, проверяют наличие лишь одного единичного корня. Однако, процесс может иметь теоретически несколько единичных корней. В этом случае тест может быть некорректным. Поскольку обычно предполагается, что больше трёх единичных корней вряд ли могут встречаться в реальных экономических временных рядах, то теоретически обоснованным является тестирование в первую очередь вторых разностей ряда. Если гипотеза единичного корня для этого ряда отвергается, то тогда тестируется единичный корень в первых разностях. Если на этом этапе гипотеза не отвергается, то исходный ряд имеет два единичных корня. Если отвергается, то проверяется единичный корень в самом временном ряде, как описано выше. На практике часто все делают в обратной последовательности, что не совсем корректно. Для корректных выводов необходимы результаты тестов для вторых и первых разностей наряду с самим временным рядом.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Dickey D. A. and Fuller W. A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root // Journal of the American Statistical Association. — 74. — 1979. — p. 427—-431.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web