Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора

Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора — соотношения между вакуумными средними хронологических произведений операторов поля, обеспечивающие калибровочную инвариантность квантовой теории. В квантовой электродинамике эти соотношения, называемые Уорда тождествами и тождествами Уорда — Такахаши, являются прямым следствием сохранения тока, с которым взаимодействует калибровочное поле. Они выражают дивергенцию функции Грина с $n$ внешними фотонными линиями через функции Грина с $n-1$ внешней фотонной линией. Простейшее тождество Уорда — Такахаши, связывающее вершинную часть ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu }$ и собственную энергию электрона $\mathrm{\Sigma }$, имеет вид:

${\mathrm{\Gamma }}_{\mu }(p,p)=-\frac{\partial }{\partial p^{\mu }}\mathrm{\Sigma }(p)(1)$

где $p$ — 4-импульс электрона. Из тождества Уорда — Такахаши следуют соотношения между константами перенормировки: $\delta m=0,Z_1=Z_2$ , где $\delta m,Z_1,Z_2$ — соответственно константы перенормировки массы фотона, вершинной функции, волновой функции электрона.

В отличие от электродинамики, в квантовой теории неабелевых калибровочных полей ток, с которым взаимодействует поле Янга — Миллса, не сохраняется. Поэтому простые тождества типа (1) не справедливы. Их аналогом являются тождества Славнова-Тейлора, выражающие дивергенцию функции Грина с n внешними линиями поля Янга — Миллса через функции Грина с числом внешних линий $⩾n$, включающие помимо полей Янга — Миллса вспомогательные поля (духи Фаддеева — Попова). Тождества Славнова — Тейлора для полей Янга — Миллса можно записать в виде:

$\int \exp [i\int (ℒ(A)+\frac{1}{2\alpha }({\partial }_{\mu }{A}_{\mu }{)}^2+{ℒ}_c+I_{\mu }^a{A}_{\mu }^a)dx][-\frac{1}{\alpha }{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }^a(x)+$

$+\int {\overline{c}}^a(x)I_{\mu }^b({\partial }_{\mu }{c}^b(y)g{t}^{bcd}{A}_{\mu }^c(y)c^d(y))dy]dAd\overline{c}dc=0(2)$

где $ℒ(A)$ — классический лагранжиан поля Янга — Миллса $A_{\mu }^a$, ${ℒ}_c$ — лагранжиан духов Фаддеева — Попова $c$, $\overline{c}$; $I$ — ток внешних источников, $g$ — константа взаимодействия, $t^{bcd}$ — структурные константы калибровочной группы.

Из тождеств Славнова — Тейлора следуют соотношения между константами перенормировки полей Янга — Миллса и духов Фаддеева — Попова: $\delta m=0,Z_1{Z}_2^{-1}={\tilde{Z}}_1{\tilde{Z}}_2^{-1},Z_4=Z_1^2{Z}_2^{-1}$, где $\delta m$ — константа перенормировки массы поля Янга — Миллса, $Z_2,Z_1,Z_4$ — соответственно константы перенормировки волновой функции и вершинных частей с тремя и четырьмя внешними линиями поля Янга — Миллса, а ${\tilde{Z}}_1{\tilde{Z}}_2$ — константы перенормировки волновой функции духов Фаддеева — Попова и вершинной части с одной внешней линией поля Янга — Миллса и двумя линиями духов Фаддеева — Попова.

Тождества Славнова — Тейлора выражают симметрию эффективного действия, стоящего в экспоненте в формуле (2), относительно преобразований, перепутывающих поля Янга — Миллса и духи Фаддеева — Попова, — так называемых преобразований БРСТ. Эти тождества гарантируют калибровочную инвариантность перенормированной теории и играют ключевую роль в доказательстве унитарности матрицы рассеяния.

Литература

• Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Ициксон К., Зюбер Ж. Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, M., 1984.

Ссылки

• Slavnov-Taylor identities Шаблон:Ref-en