Структурные константы

Используя векторное произведение в качестве скобки Ли, алгебра 3-мерных вещественных векторов является алгеброй Ли, изоморфной алгебрам Ли SU(2) и SO(3). Структурные константы: $f^{abc}={ϵ}^{abc}$, где ${ϵ}^{abc}$ — антисимметричный символ Леви-Чивиты.

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем используются для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации. Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом, однозначно определяя произведение для алгебры.

Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебры Ли в физике, поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам. Напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, причём билинейное произведение задаётся скобкой Ли или коммутатором.

Определение

Учитывая набор базисный векторов $\{{𝐞}_i\}$ векторного пространства алгебры, структурные константы или структурные коэффициенты $c_{ij}^k$ выражают умножение $\cdot$ пар векторов в качестве линейной комбинации:

${𝐞}_i\cdot {𝐞}_j=\sum _k{c}_{ij}^k{𝐞}_k$.

Верхний и нижний индексы часто не различаются, если алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая потребовала бы этого (например, псевдориманова метрика на алгебре неопределённой ортогональной группы so(p,q)). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Различие между верхним и нижним является условием, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора, то есть ковариантно при изменении базиса, а верхние индексы — контравариантно.

Очевидно, что структурные константы зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно часто используемое соглашение о базисе выражается в терминах лестничных операторов, определённых подалгеброй Картана; это представлено ниже в статье после некоторых предварительных примеров.

Пример: алгебры Ли

Для алгебры Ли базисные векторы называются Шаблон:Нп5 алгебры, а произведение задаётся скобкой Ли. То есть, произведение алгебры $\cdot$ "определено" как скобка Ли: для двух векторов $A$ и $B$ в алгебре, результатом будет $A\cdot B\equiv [A,B].$ В частности, произведение алгебры $\cdot$ нельзя путать с матричным произведением, поэтому иногда требуются альтернативные обозначения.

В этом случае нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны все вверху или все внизу. В физике обычно используются обозначения $T_i$ для генераторов, а $f_{ab}^c$ или $f^{abc}$ (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Скобка Ли пар генераторов представляет собой линейную комбинацию генераторов из множества, т.е.

$[T_a,T_b]=\sum _c{f}_{ab}^c{T}_c$.

Путём линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.

Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби. Для базисных векторов это можно записать как

$[T_a,[T_b,T_c]]+[T_b,[T_c,T_a]]+[T_c,[T_a,T_b]]=0$

и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:

$f_{ad}^e{f}_{bc}^d+f_{bd}^e{f}_{ca}^d+f_{cd}^e{f}_{ab}^d=0.$

Выше и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.

Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединённого представления. Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записываются в терминах структурных констант.

Структурные константы часто появляются в приближении к формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли. Для малых элементов $X,Y$ алгебры Ли структура группы Ли около единичного элемента задается формулой

$\exp (X)\exp (Y)\approx \exp (X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]).$

Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как $e^{-X}d{e}^X$.

Примеры алгебры Ли

𝖘𝖚(2) и 𝖘𝖔(3)

Алгебра 𝖘𝖚(2) специальной унитарной группы SU(2) трёхмерна, с генераторами, заданными матрицами Паули ${\sigma }_i$. Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где ${ϵ}^{abc}$ — символ Леви-Чивиты):

$[{\sigma }_a,{\sigma }_b]=2i{ϵ}^{abc}{\sigma }_c$

где

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

В этом случае структурные константы равны $f^{abc}=2i{ϵ}^{abc}$. Обратите внимание, что константа 2i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя $t_a=-i{\sigma }_a/2$, можно одинаково хорошо написать

$[t_a,t_b]={ϵ}^{abc}{t}_c$

Это подчёркивает, что алгебра Ли 𝖘𝖚(2) группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли 𝖘𝖔(3) группы SO(3). Это приводит структурные константы в соответствие с константами группа вращения SO(3). То есть коммутатор для оператора углового момента обычно записывается как

$[L_i,L_j]={ϵ}^{ijk}{L}_k$

где

$L_x=L_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$L_y=L_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

$L_z=L_3=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трёхмерном пространстве.

Разница в множителе «2i» между этими двумя наборами структурных констант может приводить в бешенство, поскольку включает в себя некоторую тонкость. Таким образом, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать реальную структуру. Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальному представлению группы (2), которые изоморфны, но являются комплексно сопряжённым представлением; оба, однако, считаются действительными представлениями именно потому, что они действуют в пространстве с реальной структурой. В случае трёх измерений существует только одно трёхмерное представление, присоединённое представление, которое является действительным представлением; точнее, это то же самое, что и его двойное представление, показанное выше. Другими словами, транспонировать является минусом самого себя: $L_k^T=-L_k.$

В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что можно записать структурные константы так, чтобы они были чисто действительными.

𝖘𝖚(3)

Менее тривиальный пример даётся в SU(3).

Его генераторы "T" в определяющем представлении таковы:

$T^a=\frac{{\lambda }^a}{2}.$

где $\lambda$ матрицы Гелл-Манна являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2):

${\lambda }^1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }^2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }^4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }^5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }^6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }^7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }^8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$

Они подчиняются отношениям

$[T^a,T^b]=i{f}^{abc}{T}^c$

$\{T^a,T^b\}=\frac{1}{3}{\delta }^{ab}+d^{abc}{T}^c.$

Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:

$f^{123}=1$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}=\frac{1}{2}$

$f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2},$

и все другие $f^{abc}$, не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.

d принимают значения:

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}=\frac{1}{2}.$

Примеры из других алгебр

Полиномы Холла

Полиномы Холла - это структурные константы Шаблон:Нп5.

Алгебры Хопфа

В дополнение к произведению копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Соединяющая аксиома, которая определяет условие согласованности алгебры Хопфа, может быть выражена как связь между этими различными структурными константами.

Приложения

• Группа Ли абелева в точности тогда, когда все структурные константы равны 0.
• Группа Ли является вещественной именно тогда, когда её структурные константы вещественны.
• Структурные константы полностью антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой Шаблон:Нп5 Шаблон:Нп5.
• нильпотентная группа Ли допускает решётку тогда и только тогда, когда её алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева. Не все нильпотентные группы Ли допускают решётки; для более подробной информации см.также Рагунатан.
• В квантовой хромодинамике символ $G_{\mu \nu }^a$ представляет калибровочный ковариант Шаблон:Нп5, аналогичный тензору напряжённости электромагнитного поля, F^μν, в квантовая электродинамика. Это даётся в:

$G_{\mu \nu }^a={\partial }_{\mu }{𝒜}_{\nu }^a-{\partial }_{\nu }{𝒜}_{\mu }^a+g{f}^{abc}{𝒜}_{\mu }^b{𝒜}_{\nu }^c,$

где f_abc — структурные константы SU(3). Обратите внимание, что правила отжимания или опускания индексов a, b или c являются тривиальными, (+, ... +), так что f^abc = f_abc = fШаблон:Su, тогда как для индексов μ или ν существуют нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической подписи (+ - - -).

Выбор базиса для алгебры Ли

Один из традиционных подходов к обеспечению основы алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана. Здесь кратко описывается построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений. Альтернативная конструкция (конструкция Серра) может быть найдена в статье «Полупростая алгебра Ли».

Для алгебры Ли $𝔤$ подалгебра Картана $𝔥\subset 𝔤$ является максимальной абелевой подалгеброй. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Шаблон:Нп5 базис можно свободно выбирать на $𝔥$; запишите эту основу как $H_1,\cdots ,H_r$ с

$⟨H_i,H_j⟩={\delta }_{ij}$

где $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — это внутреннее произведение в векторном пространстве. Размерность $r$ этой подалгебры называется рангом алгебры. Матрицы $\mathrm{a}\mathrm{d}(H_i)$ в присоединённом представлении взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. Матрицы $\mathrm{a}\mathrm{d}(H_i)$ имеют (одновременные) собственные векторы; которые с ненулевым собственным значением $\alpha$ обычно обозначаются $E_{\alpha }$. Вместе с $H_i$ они охватывают всё векторное пространство $𝔤$. Тогда коммутационные соотношения имеют вид:

$[H_i,H_j]=0\text{и}[H_i,E_{\alpha }]={\alpha }_i{E}_{\alpha }$

Собственные векторы $E_{}alpha$ определяются только до общего масштаба; обычную нормализацию можно установить

$⟨E_{\alpha },E_{-\alpha }⟩=1$

Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения в виде

$[E_{\alpha },E_{-\alpha }]={\alpha }_i{H}_i$

и

$[E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }{E}_{\alpha +\beta }$

с этим последним при условии, что корни (определённые ниже) $\alpha ,\beta$ с ненулевым значением: $\alpha +\beta \ne 0$. $E_{\alpha }$ иногда называют операторами лестницы, поскольку они обладают этим свойством повышения/понижения значения $\beta$.

Для данного $\alpha$ существует столько ${\alpha }_i$, сколько имеется $H_i$, поэтому можно определить вектор $\alpha ={\alpha }_i{H}_i$, этот вектор называется корень алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простая алгебра Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе.

Структурные константы $N_{\alpha ,\beta }$ имеют свойство отличаться от нуля только тогда, когда $\alpha +\beta$ является корнем. Кроме того, они антисимметричны:

$N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha }$

и всегда можно выбрать так, чтобы

$N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta }$

Они также подчиняются условиям коцикла:

$N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha }$

всякий раз, когда $\alpha +\beta +\gamma =0$, а также что

$N_{\alpha ,\beta }{N}_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }{N}_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }{N}_{\beta ,\delta }=0$

всякий раз, когда $\alpha +\beta +\gamma +\delta =0$.