Тождество Никомаха

Геометрическая иллюстрация тождества Никомаха для случая $n=5$

Тождество Никомаха (теорема Никомаха, теорема о квадрате треугольного числа) — теоретико-числовое утверждение о том, что сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату суммы первых $n$ натуральных чисел, или, другими словами, сумма кубов первых $n$ натуральных чисел равна квадрату $n$-го треугольного числаШаблон:Sfn:

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={(1+2+3+\cdots +n)}^2$.

Последовательность квадратов треугольных чисел:

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... (Шаблон:OEIS)

Тождество в его полном виде впервые сформулировано в трактате Диофанта «О многоугольных числах»Шаблон:Sfn, однако утверждение о том, что кубы натуральных чисел представимы в виде суммы последовательных гномонов, есть в главе XX 2-й части «Введения в арифметику» Никомаха ГерасскогоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В 2025 году к теореме привлечено общественное внимание, так как номер этого года является квадратом треугольного числа (следующий год с таким свойством наступит в 3025 году, а предыдущий был в 1296 году).

См. также

• Формула Фаульхабера

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга