Тождество Похожаева

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Шредингера

Приведём общую форму, предложенную Шаблон:Iw и П.-Л. Лионсом.

Положим $g(s)$ в качестве непрерывной вещественной функции, с $g(0)=0$. Определим $G(s)={\int }_0^{s}g(t)dt$. Пусть

$u\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n),\mathrm{\nabla }u\in L^2({ℝ}^n),G(u)\in L^1({ℝ}^n),n\in \mathbb{N},$

будет решением уравнения

$-{\mathrm{\nabla }}^{2}u=g(u)$,

в терминах распределений. Тогда $u$ удовлетворяет соотношению

$\frac{n-2}{2}{\int }_{{ℝ}^n}|\mathrm{\nabla }u(x){|}^{2}dx=n{\int }_{{ℝ}^n}G(u(x))dx.$

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Дирака

Существует форма вириального тождества для стационарного Шаблон:Iw в трёх пространственных измерениях (а также уравнения Максвелла-Дирака) и в произвольном пространственном измерении. Положим $n\in \mathbb{N},N\in \mathbb{N}$ и пусть ${\alpha }^i,1\le i\le n$ и $\beta$ будут самосопряжёнными матрицами Дирака размера $N\times N$:

${\alpha }^i{\alpha }^j+{\alpha }^j{\alpha }^i=2{\delta }_{ij}{I}_N,{\beta }^2=I_N,{\alpha }^i\beta +\beta {\alpha }^i=0,1\le i,j\le n.$

Пусть $D_0=-\mathrm{i}\alpha \cdot \mathrm{\nabla }=-\mathrm{i}\sum _{i=1}^n{\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ будет безмассовым оператором Дирака. Положим $g(s)$ в качестве непрерывной вещественной функции, с $g(0)=0$. Определим $G(s)={\int }_0^{s}g(t)dt$. Пусть $\varphi \in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n,{ℂ}^N)$ будет спинорным решением, удовлетворяющим стационарной форме нелинейного уравнения Дирака,

$\omega \varphi =D_0\varphi +g({\varphi }^{\ast }\beta \varphi )\beta \varphi ,$

в терминах распределений, с некоторой $\omega \in ℝ$. Предположим, что

$\varphi \in H^1({ℝ}^n,{ℂ}^N),G({\varphi }^{\ast }\beta \varphi )\in L^1({ℝ}^n).$

Тогда $\varphi$ удовлетворяет

$\omega {\int }_{{ℝ}^n}\varphi (x{)}^{\ast }\varphi (x)dx=\frac{n-1}{n}{\int }_{{ℝ}^n}\varphi (x{)}^{\ast }{D}_0\varphi (x)dx+{\int }_{{ℝ}^n}G(\varphi (x{)}^{\ast }\beta \varphi (x))dx.$

См. также

• Теорема о вириале
• Теорема Деррика