Тор Клифтона — Поля

Тор Клифтона — Поля — пример компактного лоренцева многообразия, не являющегося геодезически полным. Пример показывает, что теорема Хопфа — Ринова не обобщается на псевдоримановы многообразия. Этот пример был построен (но не опубликован) Йитоном Клифтоном и Уильямом Полем в 1962 году.

Построение

Рассмотрим многообразие $M={ℝ}^2\setminus \{0\}$ с метрикой:

$g=\frac{2\cdot dxdy}{x^2+y^2}$

Любая гомотетия является изометрией $M$, в частности, таково следующее отображение:

$\lambda (x,y)=2\cdot (x,y)$

Пусть $\mathrm{\Gamma }$ — подгруппа группы изометрии, порожденная $\lambda$. Фактор $M$ по $\mathrm{\Gamma }$ является тором $T=M/\mathrm{\Gamma }$ — он и называется тором Клифтона — Поля.

Свойства

Геодезическая неполнота

Легко проверить, что кривая

$\sigma (t):=(\frac{1}{1-t},0)$

есть геодезическая в $M$, которая не полна (поскольку она не определена при $t=1$). Следовательно, $M$ и $T=M/\mathrm{\Gamma },$ не являются геодезически полными.

На самом деле, каждая нуль-геодезическая на $M$, а значит и на $T=M/\mathrm{\Gamma }$, не является полной.

Сопряженные точки

Торы Клифтона — Поля также не имеют сопряженных точек.