Точная последовательность Эйлера

Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства Шаблон:Нп5 (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений $𝒪(-1)$ (см. скручивающий пучок Серра).

Формулировка

Для коммутативного кольца A существует точная последовательность пучков

$0\to {\mathrm{\Omega }}_{{\mathbb{P}}_A^n/A}^1\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}_A^n}(-1{)}^{\oplus n+1}\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}_A^n}\to 0.$

Для доказательства достаточно определить гомоморфизм $S(-1{)}^{\oplus n+1}\to S,e_i\mapsto x_i$, где $S=A[x_0,\dots ,x_n]$ и $e_i=1$ в степени 1, сюръективный в степенях $\ge 1$ и проверить, что локально на (n + 1)-й стандартных аффинных картах его ядро изоморфно модулю относительных дифференциалов.Шаблон:Sfn

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что кольцо A является полем k.

Точная последовательность выше эквивалентна последовательности

$0\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}\to 𝒪(1{)}^{\oplus (n+1)}\to {𝒯}_{{\mathbb{P}}^n}\to 0$,

где последний ненулевой член — это касательный пучок.

Рассмотрим V — (n + 1)-мерное векторное пространство над k и объясним точную последовательность

$0\to {𝒪}_{\mathbb{P}(V)}\to {𝒪}_{\mathbb{P}(V)}(1)\otimes V\to {𝒯}_{\mathbb{P}(V)}\to 0$

Эту последовательность легче всего понимать, интерпретируя средний член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательное сечение этого пучка — эйлерово векторное поле — тавтологически определяемое путём сопоставления точке векторного пространства соответствующего этой точке вектора, перенесённого в касательное пространство в этой точке.

Это векторное поле радиально в том смысле, что оно зануляется на 0-однородных функциях, то есть функциях, инвариантных относительно гомотетии с центром в нуле.

Функция (определённая на некотором открытом множестве) на $\mathbb{P}(V)$ индуцирует 0-однородную функцию на V (вновь частично определённую). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая эйлерово векторное поле на такие функции. Это определяет первое отображение.

Второе отображение связано с понятием дифференцирований, эквивалентным понятию векторных полей. Напомним, что векторное поле на открытом подмножестве U проективного пространства $\mathbb{P}(V)$ может быть определено как дифференцирование функций, определённых на этом открытом множестве. Рассматривая прообраз в V, это эквивалентно дифференцированию на прообразе U, сохраняющему 0-однородные функции. Любое векторное поле на $\mathbb{P}(V)$ может быть получено таким образом, и ядро полученного отображения состоит в точности из радиальных векторных полей.

Каноническое линейное расслоение проективного пространства

Переходя к старшим внешним степеням, находим, что Шаблон:Нп5 проективного пространства имеет вид

${\omega }_{{\mathbb{P}}_A^n/A}\cong {𝒪}_{{\mathbb{P}}_A^n}(-(n+1))$.

В частности, проективные пространства являются Шаблон:Нп5, так как каноническое линейное расслоение анти-обильно.

Литература

• Шаблон:Книга