Трапецеромбический додекаэдр

Трапецеромби́ческий додека́эдр — многогранник, двойственный трёхскатному прямому бикуполу.

Составлен из 12 граней: 6 равнобоких трапеций и 6 ромбов. Каждая грань окружена двумя трапециедальными и двумя ромбическими; у каждой грани два угла равны $\arccos \frac{1}{3}\approx 70,53^{\circ },$ а два других $\arccos (-\frac{1}{3})\approx 109,47^{\circ }.$

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся своими тупыми углами три ромбических грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильной треугольной призмы) сходятся острыми углами две трапециедальных и две ромбических грани; в остальных 6 (расположенных как вершины другой правильной треугольной призмы) сходятся тупыми углами две трапециедальных и одна ромбическая грани.

У трапецеромбического додекаэдра 24 ребра — 3 «длинных» (служащих большими основаниями трапеций), 18 «средних» (служащих боковыми сторонами трапеций и сторонами ромбов) и 3 «коротких» (служащих малыми основаниями трапеций). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $120^{\circ }.$

Трапецеромбический додекаэдр можно получить из ромбододекаэдра, разрезав тот на две части любой плоскостью, пересекающей под прямыми углами шесть его рёбер, и повернув одну из частей на 60° вокруг её оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; вписанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают со вписанной и полувписанной сферами исходного ромбододекаэдра.

Метрические характеристики

Если «средние» рёбра трапецеромбического додекаэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{4}{3}a,$ «короткие» — длину $\frac{2}{3}a.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=8\sqrt{2}{a}^2\approx 11,3137085a^2,$

$V=\frac{16\sqrt{3}}{9}{a}^3\approx 3,0792014a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{\sqrt{6}}{3}a\approx 0,8164966a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{2\sqrt{2}}{3}a\approx 0,9428090a.$

Описать около трапецеромбического додекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Периметр любой грани будет равен

$P_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=4a=4,0000000a,$

радиус окружности, вписанной в любую грань —

$r_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\sqrt{{\rho }^2-r^2}=\frac{\sqrt{2}}{3}a\approx 0,4714045a,$

площадь любой грани —

$S_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\frac{P_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}}{2}{r}_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^2\approx 0,9428090a^2.$

Заполнение пространства

С помощью трапецеромбических додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

• 
  Фрагмент заполнения
• 
  Рёберная модель

Данное заполнение является диаграммой Вороного для центров одинаковых сфер в шестиугольной плотной упаковке (ГП).

Ссылки

• Шаблон:Mathworld