Треугольник Шарыгина

Треугольник Шарыгина — треугольник, не являющийся равнобедренным, основания биссектрис которого образуют равнобедренный треугольник.

Был впервые рассмотрен Игорем Фёдоровичем Шарыгиным в 1982 году в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия».

Треугольники Шарыгина представляют интерес, так как существуют в отличие от аналогичных треугольников, в определении которых вместо биссектрис использованы, например, медианы или высоты.

Существование треугольников Шарыгина

Произвольный треугольник Шарыгина с основными обозначениями, где $A_1{B}_1=A_1{C}_1$.

Для любого угла $\alpha$ такого, что $-\frac{1}{4}<\cos (\alpha )<\frac{\sqrt{17}-5}{4}$, существует с точностью до подобия ровно один треугольник Шарыгина с одним из углов, равным $\alpha$, причём для любого треугольника Шарыгина косинус одного из его углов лежит в указанном интервале.

Сам угол $\alpha$ в градусах удовлетворяет приближённому двойному неравенству $102,663^{\circ }\lesssim \alpha \lesssim 104,478^{\circ }$.

Кубика Шарыгина

Кубикой Шарыгина называется полученная в доказательстве выше кубика $b^3+c^3-a^3+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}a-a^{2}b-a^{2}c+abc=0$ (имеющая более простой, но не удовлетворяющий формальному определению кубики вариант записи: $\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}=\frac{a}{b+c}$), задающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольник со сторонами $a,b,c$ являлся треугольником Шарыгина с равными сторонами $A_1{B}_1=A_1{C}_1$ (см. рисунок).

Конкретные примеры

Треугольник Шарыгина, образованный тремя вершинами правильного семиугольника.

В правильных многоугольниках

На момент 2017 года известен только один пример треугольника Шарыгина, вершины которого могут являться некоторыми вершинами правильного многоугольника. В данном примере вершины треугольника являются первой, второй и четвёртой вершинами правильного семиугольника.

С целыми длинами сторон

Существует бесконечное число различных целочисленных треугольников Шарыгина, что было доказано при помощи теории эллиптических кривых (конкретно была рассмотрена эллиптическая кривая, задаваемая кубикой Шарыгина). Пример, одна из сторон в котором является наименьшей из возможных, имеет следующий набор сторон

$1481089,18800081,19214131.$

Минимальность данного примера была проверена полным перебором.

Вариации

Вариация треугольника Шарыгина для двух внешних биссектрис и одной внутренней.

• Рассматриваются также аналогичные треугольники, в которых равнобедренным является не треугольник, образованный основаниями биссектрис внутренних углов, а треугольник, образованный одним основанием биссектрисы внутреннего угла и двумя основаниями внешних биссектрис к двум другим углам.

Литература

• Игорь Нетай, Алексей Савватеев "Треугольники Шарыгина и эллиптические кривые"

Ссылки

• Лекция Игоря Нетая на youtube