Триакисикосаэдр

Шаблон:Многогранник

Триакисикоса́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «трижды», Шаблон:Lang-grc2 — «двадцать» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos (- \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{20}) \approx 119, 0 4^{\circ},$ а два других $\arccos \frac{15 + \sqrt{5}}{20} \approx 30, 4 8^{\circ} .$

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими острыми углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакисикосаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра икосаэдра) и 60 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромботриаконтаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (- \frac{24 + 15 \sqrt{5}}{61}) \approx 160, 6 1^{\circ} .$

Триакисикосаэдр можно получить из икосаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани икосаэдра, и высотой, которая в $\frac{5 \sqrt{15} + 9 \sqrt{3}}{2} \approx 17, 48$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 20 граней исходного — с чем и связано его название.

Триакисикосаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла^[1]; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакисикосаэдра имеют длину $a$ , то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{1}{10} (15 + \sqrt{5}) a \approx 1, 72 a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как