Усечённый додекаэдр

Усечённый додека́эдрШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен $\pi +\arccos \frac{\sqrt{5}}{3}\approx 1,23\pi .$

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны $\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{5})\approx 116,57^{\circ },$ как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и десятиугольной гранями) $\arccos (-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}})\approx 142,62^{\circ },$ как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатах

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• $(0;\pm (\mathrm{\Phi }-1);\pm (\mathrm{\Phi }+2)),$
• $(\pm (\mathrm{\Phi }-1);\pm \mathrm{\Phi };\pm 2\mathrm{\Phi }),$
• $(\pm \mathrm{\Phi };\pm 2;\pm (\mathrm{\Phi }+1)),$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=5(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 100,9907602a^2,$

$V=\frac{5}{12}(99+47\sqrt{5})a^3\approx 85,0396646a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{4}\sqrt{74+30\sqrt{5}}a\approx 2,9694490a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{4}(5+3\sqrt{5})a\approx 2,9270510a.$

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром $a$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

$r_{10}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{2}}a\approx 2,4898983a.$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит $r_{10}$ и равно

$r_3=\frac{\sqrt{3}}{12}(9+5\sqrt{5})a\approx 2,9127812a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга