Тригонометрическая формула Виета

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения $x^3+a{x}^2+bx+c=0$

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического примененияШаблон:Уточнить, ибо позволяет обойтись без мнимых величин.

Формула

• Вычисляем $Q=\frac{a^2-3b}{9}$
• Вычисляем $R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}$
• Вычисляем $S=Q^3-R^2$
• Если $S>0$, то вычисляем $\varphi =\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)$ и имеем три действительных корня:

  $x_1=-2\sqrt{Q}\cos (\varphi )-\frac{a}{3}$

  $x_{2,3}=-2\sqrt{Q}\cos (\varphi \pm \frac{2}{3}\pi )-\frac{a}{3}$

• Если $S<0$, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака $Q$:
  • $Q>0$:

    $\varphi =\frac{1}{3}\mathrm{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)$

    $x_1=-2\mathrm{sgn}(R)\sqrt{Q}\mathrm{ch}(\varphi )-\frac{a}{3}$ (действительный корень)

    $x_{2,3}=\mathrm{sgn}(R)\sqrt{Q}\mathrm{ch}(\varphi )-\frac{a}{3}\pm i\sqrt{3}\sqrt{Q}\mathrm{sh}(\varphi )$ (пара комплексных корней)

  • $Q<0$:

    $\varphi =\frac{1}{3}\mathrm{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q{|}^3}}\right)$

    $x_1=-2\mathrm{sgn}(R)\sqrt{|Q|}\mathrm{sh}(\varphi )-\frac{a}{3}$ (действительный корень)

    $x_{2,3}=\mathrm{sgn}(R)\sqrt{|Q|}\mathrm{sh}(\varphi )-\frac{a}{3}\pm i\sqrt{3}\sqrt{|Q|}\mathrm{ch}(\varphi )$ (пара комплексных корней)

  • $Q=0$:

  $x_1=-\sqrt[3]{c-\frac{a^3}{27}}-\frac{a}{3}$ (действительный корень)

  $x_{2,3}=-\frac{a+x_1}{2}\pm \frac{i}{2}\sqrt{|(a-3x_1)(a+x_1)-4b|}$ (пара комплексных корней)

• Если $S=0$, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

  $x_1=-2\mathrm{sgn}(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}$

  $x_2=\mathrm{sgn}(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}$

Вывод формулы

• Исходный многочлен имеет вид $P(x_1)=x_1^3+a\cdot x_1^2+b\cdot x_1+c$.

• Подстановкой $x_1=x-\frac{a}{3}$ приводим многочлен к виду $Q(x)=x^3+p\cdot x+q$, где $p=b-\frac{a^2}{3}$ и $q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$.

• Ищем решение уравнения $Q(x)=x^3+p\cdot x+q=0$ в виде $x=A\cdot \cos \phi$, получаем уравнение $A^3\cdot {\cos }^3\phi +Ap\cdot \cos \phi =-q$.

• Заметим что в случае $p<0$ при $A=\sqrt{-\frac{4p}{3}}$ это уравнение приобретает вид $\frac{A^3}{4}\cdot (4{\cos }^3\phi -3\cos \phi )=-q$.

• Используя тригонометрическое тождество $\cos 3\phi =4{\cos }^3\phi -3\cos \phi$ приходим к уравнению вида $\cos 3\phi =-\frac{4q}{A^3}$.

• Решение этого уравнения имеет вид ${\phi }_k=\frac{1}{3}\arccos (-\frac{4q}{A^3})+\frac{2\pi k}{3}$, где $k$ пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что $0\le \arccos (-\frac{4q}{A^3})\le \pi$.

• Подставляя полученные значения ${\phi }_k$ в выражение для переменной $x$, получаем ответ $x_k=A\cdot \cos {\phi }_k$

Шаблон:Rq