Уравнение Каратеодори

Уравнение Каратеодо́ри (названо в честь немецкого математика греческого происхождения Константина Каратеодори) — обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac{dx}{dt}=f(t,x),x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n,n⩾1,(*)$

в котором правая часть (то есть компоненты вектор-функции $f$) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по $x$), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори:

• вектор-функция $f$ определена и непрерывна по $x$ для почти всех (в смысле меры Лебега) $t$ в области $D$ пространства $(t,x)$.
• вектор-функция $f$ измерима по $t$ для каждого $x$ в области $D$.
• для каждого ограниченного интервала оси $t$ в области $D$ выполняется неравенство $|f(t,x)|⩽m(t),$ где $m(t)$ — суммируемая (то есть интегрируемая по Лебегу) функция.

Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием $x(t_0)=x_0$ называется измеримая вектор-функция $x(t),$ удовлетворяющая интегральному уравнению

$x(t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))d\tau .(**)$

Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции $f$. Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции $x(t)$ и удовлетворяющей условию Каратеодори функции $f(t,x)$ является суммируемой функцией от переменной $t.$

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущими классическим уравнениям с непрерывной правой частью.

Теорема существования и единственности

• Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области $D=\{t_0⩽t⩽t_0+a,|x-x_0|⩽b\}$, $a,b>0,$ тогда существует такое $\delta >0,$ что уравнение (*) с начальным условием $x(t_0)=x_0$ имеет решение $x(t)$ на отрезке $[t_0,t_0+\delta ].$ В качестве $\delta$ можно взять любое число, удовлетворяющее условиям

$0<\delta ⩽a,\mu (t_0+\delta )⩽b,\mu (t):=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}m(\tau )d\tau .$

• Если существует такая суммируемая функция $l(t),$ что выполняется неравенство

$|f(t,x)-f(t,y)|⩽l(t)|x-y|,\mathrm{\forall }(t,x),(t,y)\in D,$

или неравенство

$(f(t,x)-f(t,y))\cdot (x-y)⩽l(t)|x-y{|}^2,\mathrm{\forall }(t,x),(t,y)\in D,$

где в случае $n>1$ точка означает скалярное произведение, то уравнение (*) с начальным условием $x(t_0)=x_0$ в области $D$ имеет не более одного решения.

Литература

• Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Москва: Наука, 1985.

Ссылки

• Ахмеров Р. Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений