Уравнение Лейна — Эмдена

Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена. Уравнение имеет вид

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0,$

где $\xi$ — безразмерный радиус, $\theta$ связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением $\rho ={\rho }_c{\theta }^n$ для центральной плотности ${\rho }_c$. Показатель $n$ является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

$P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}$

где $P$ и $\rho$ — давление и плотность, $K$ — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: $\theta (0)=1$ и ${\theta }^{\prime }(0)=0$. Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом $n$. Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

Применение

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Вывод уравнения

Из условия гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

$\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho ,$

где $\rho$ является функцией $r$. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

$\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm}{r^2},$

где $m$ также является функцией $r$. Повторное дифференцирование приводит к выражению

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)& =\frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr}\\ & =-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho ,\end{array}$

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на $r^2$ и переносим слагаемые с производными $P$ в левой части:

$r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho }\frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi G{r}^2\rho .$

Делим обе части на $r^2$, при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на $P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }^{n+1}$ и $\rho ={\rho }_c{\theta }^n$,то равенство примет вид

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^{2}K{\rho }_c^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{d\theta }{dr})=-4\pi G{\rho }_c{\theta }^n.$

Выполним подстановку $r=\alpha \xi$, где

${\alpha }^2=(n+1)K{\rho }_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G,$

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^n=0.$

Из уравнения Пуассона

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}\right)=4\pi G\rho .$

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dr}=-\frac{1}{\rho }\frac{dP}{dr},$

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

Решения

Для заданного значения индекса политропы $n$ обозначим решение уравнения как ${\theta }_n(\xi )$. В общем случае уравнение приходится решать численно для определения ${\theta }_n$. Существуют точные аналитические решения для определённых значений $n$, в частности для $n=0,1,5$. Для $n$ между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением $R=\alpha {\xi }_1$, где ${\theta }_n({\xi }_1)=0$.

Для данного решения ${\theta }_n$ профиль плотности задаётся выражением

$\rho ={\rho }_c{\theta }_n^n$.

Полную массу $M$ модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до ${\xi }_1$.

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния $P=K{\rho }^{1+\frac{1}{n}}$, то есть

$P=K{\rho }_c^{1+\frac{1}{n}}{\theta }_n^{n+1}.$

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид $P=k_B\rho T/\mu$, где $k_B$ — постоянная Больцмана, $\mu$ — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:

$T=\frac{K\mu }{k_B}{\rho }_c^{1/n}{\theta }_n.$

Точные решения

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы $n$.

n = 0

Если $n=0$, уравнение имеет вид

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+1=0.$

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

${\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }=C_1-\frac{1}{3}{\xi }^3.$

Поделим обе части на ${\xi }^2$, проинтегрируем:

$\theta (\xi )=C_0-\frac{C_1}{\xi }-\frac{1}{6}{\xi }^2.$

Граничные условия $\theta (0)=1$ и ${\theta }^{\prime }(0)=0$ предполагают, что постоянные интегрирования равны $C_0=1$ и $C_1=0$. Следовательно,

$\theta (\xi )=1-\frac{1}{6}{\xi }^2.$

n = 1

Если $n=1$, уравнение можно представить в виде

$\frac{d^2\theta }{d{\xi }^2}+\frac{2}{\xi }\frac{d\theta }{d\xi }+\theta =0.$

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

$\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\xi }^n.$

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

$a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+3)(n+2)}.$

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

$\theta (\xi )=a_0\frac{\sin \xi }{\xi }+a_1\frac{\cos \xi }{\xi }.$

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы $\theta (\xi )\to 1$ при $\xi \to 0$. Тогда $a_0=1,a_1=0$, что даёт решение в виде

$\theta (\xi )=\frac{\sin \xi }{\xi }.$

n = 5

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\theta }{d\xi }\right)+{\theta }^5=0.$

Для $\frac{d\theta }{d\xi }$ получим

$\frac{d\theta }{d\xi }=\frac{1}{2}{(1+\frac{{\xi }^2}{3})}^{3/2}\frac{2\xi }{3}=\frac{{\xi }^3}{3[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{3/2}}.$

Дифференцируем по ξ:

${\theta }^5=\frac{{\xi }^2}{[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{3/2}}+\frac{3{\xi }^2}{9[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{5/2}}=\frac{9}{9[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{5/2}}.$

После упрощения получаем

${\theta }^5=\frac{1}{[1+\frac{{\xi }^2}{3}{]}^{5/2}}.$

Таким образом, уравнение имеет решение

$\theta (\xi )=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2/3}}$

при $n=5$. Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

Численные решения

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

$\frac{d\theta }{d\xi }=-\frac{\varphi }{{\xi }^2},$

$\frac{d\varphi }{d\xi }={\theta }^n{\xi }^2.$

Здесь $\varphi (\xi )$ представляет собой безразмерную массу, определяемую как $m(r)=4\pi {\alpha }^3{\rho }_c\varphi (\xi )$. Соответствующими начальными условиями являются $\varphi (0)=0$ и $\theta (0)=1$. Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Гомологические переменные

Гомологически инвариантное уравнение

Известно, что если $\theta (\xi )$ является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$ является решением. Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

$U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{{\xi }^3{\theta }^n}{\varphi }$

и

$V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\varphi }{\xi \theta }.$

После дифференцирования логарифмов данных переменных по $\xi$ получим выражения

$\frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi }=\frac{1}{\xi }(3-n(n+1{)}^{-1}V-U)$

и

$\frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi }=\frac{1}{\xi }(-1+U+(n+1{)}^{-1}V)$.

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от $\xi$, после чего получим выражение

$\frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1{)}^{-1}V-1}{U+n(n+1{)}^{-1}V-3}\right),$

являющееся уравнением первого порядка.

Топология гомологически инвариантного уравнения

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

$\frac{dU}{d\log \xi }=-U(U+n(n+1{)}^{-1}V-3)$

и

$\frac{dV}{d\log \xi }=V(U+(n+1{)}^{-1}V-1).$

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.

$\begin{array}{ccc}\text{Критические точки}& \text{Собственные числа}& \text{Собственные векторы}\\ (0,0)& 3,-1& (1,0),(0,1)\\ (3,0)& -3,2& (1,0),(-3n,5+5n)\\ (0,n+1)& 1,3-n& (0,1),(2-n,1+n)\\ (\frac{n-3}{n-1},2\frac{n+1}{n-1})& \frac{n-5\pm {\mathrm{\Delta }}_n}{2-2n}& (1-n\mp {\mathrm{\Delta }}_n,4+4n)\end{array}$

Ссылки

• Шаблон:MathWorld