Уравнение Чандрасекара

Численное решения уравнения Чандрасекара

Уравне́ние Чандрасека́ра в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для распределения плотности сферически-симметричной изотермической газовой сферы под действием собственной силы гравитации, названная по имени американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара. Уравнение имеет вид

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\psi }{d\xi }\right)=e^{-\psi },$

где $\xi$ является безразмерным радиусом, $\psi$ связано с плотностью газовой сферы соотношением $\rho ={\rho }_c{e}^{-\psi }$, где ${\rho }_c$ представляет плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермического вещества взять политропное, записанное уравнение будет представлять собой уравнение Лейна — Эмдена. Обычно изотермическое приближение применяется при описании ядра звезды. В таком случае уравнение решают с начальными условиями

$\xi =0:\psi =0,\frac{d\psi }{d\xi }=0.$

Уравнение также возникает и в других областях физики, например, в разработанной Д. А. Франк-Каменецким Шаблон:Нп5.

Вывод уравнения

Для изотермической газовой звезды давление $p$ складывается из кинетического давления и давления излучения:

$p=\rho \frac{k_B}{WH}T+\frac{4\sigma }{3c}{T}^4$,

где

• $\rho$ — плотность,
• $k_B$ — постоянная Больцмана,
• $W$ — средний молекулярный вес,
• $H$ — масса протона,
• $T$ — температура звезды,
• $\sigma$ — постоянная Стефана — Больцмана,
• $c$ — скорость света.

Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dp}{dr}\right)=-4\pi G\rho ,$

где $r$ равно радиусу, измеряемому от центра, $G$ является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде

$\frac{k_{B}T}{WH}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\ln \rho }{dr}\right)=-4\pi G\rho .$

Точное и асимптотическое решения

Вводя преобразования

$\psi =\ln \frac{{\rho }_c}{\rho },\xi =r{\left(\frac{4\pi G{\rho }_{c}WH}{k_{B}T}\right)}^{1/2},$

где ${\rho }_c$ — плотность звезды в центральной части, получаем выражение

$\frac{1}{{\xi }^2}\frac{d}{d\xi }\left({\xi }^2\frac{d\psi }{d\xi }\right)=e^{-\psi }.$

Граничные условия таковы:

$\xi =0:\psi =0,\frac{d\psi }{d\xi }=0.$

При $\xi \ll 1$ решение близко к

$\psi =\frac{{\xi }^2}{6}-\frac{{\xi }^4}{120}+\frac{{\xi }^6}{1890}+\cdot \cdot \cdot$

Ограничения модели

Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечной. Можно показать, что при $\xi \gg 1$,

$\frac{\rho }{{\rho }_c}=e^{-\psi }=\frac{2}{{\xi }^2}[1+\frac{A}{{\xi }^{1/2}}\cos (\frac{\sqrt{7}}{2}\ln \xi +\delta )+O({\xi }^{-1})]$,

где $A$ и $\delta$ являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.

Особое решение

Преобразование $x=1/\xi$ приводит уравнение к виду

$x^4\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=e^{-\psi }.$

Уравнение имеет особое решение вида

$e^{-{\psi }_s}=2x^2,\text{or}-{\psi }_s=2\ln x+\ln 2.$

Следовательно, можно ввести новую переменную $-\psi =2\ln x+z,$ при этом уравнение для $z$ можно вывести:

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}-\frac{dz}{dt}+e^z-2=0,t=\ln x.$

Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную

$y=\frac{dz}{dt}=\xi \frac{d\psi }{d\xi }-2,$

тогда

$y\frac{dy}{dz}-y+e^z-2=0.$

Другие варианты уравнения

Уравнение можно привести к другому виду. Пусть

$u=\frac{\xi e^{-\psi }}{d\psi /d\xi },v=\xi \frac{d\psi }{d\xi },$

тогда

$\frac{u}{v}\frac{dv}{du}=\frac{u-1}{u+v-3}.$

Свойства

• Если $\psi (\xi )$ является решением уравнения Чандрасекара, то $\psi (A\xi )-2\ln A$ также является решением уравнения при произвольной константе $A$.
• Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию $d\psi /d\xi =0$ при $\xi =0$.