Уравнение Льенара

Уравнение Льенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Льенара.

Определение

Пусть $f$ и $g$ — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём $g$ — нечётная функция, а $f$ — чётная. Тогда уравнение вида

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+f(x)\frac{dx}{dt}+g(x)=0$

называется уравнением Льенара.

Кроме того, уравнение Льенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену $v=\frac{dx}{dt}$. Тогда уравнение Льенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: $v\frac{dv}{dx}+f(x)v+g(x)=0$

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x=0$ имеет вид уравнения Льенара при $\{\begin{array}{c}f(x)=\mu (1-x^2)\\ g(x)=x\end{array}$.

Связанные определения

Система Льенара

Уравнение Льенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

$F(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi$;

$x_1:=x$;

$x_2:=\frac{dx}{dt}+F(x)$.

Тогда система вида

$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=𝐡(x_1,x_2):=\left[\begin{array}{c}{x}_2-F(x_1)\\ -g(x_1)\end{array}\right]$

называется системой Льенара.

Теорема Льенара

Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• $g(x)>0$ для всех $x>0$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x):=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi =\mathrm{\infty };$
• $F(x)$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра $p$, причём

$F(x)<0$ при $0<x<p$ и

$F(x)>0$ и монотонна при $x>p$.

См. также

• Осциллятор