Осциллятор Ван дер Поля

Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием. Математически моделируется уравнением

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x=0$, где

$x$ — координата точки, зависящая от времени $t$;

$\mu$ — коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.

История

Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем, во время его работы в компании Philips. Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными, известные как «предельные циклы». В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили, что на определённых частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса.

Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии. Так, например, в биологии создана модель ФитцХью — Нагумо. Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов.

Двумерный случай

С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что $y=x-\frac{x^3}{3}-\frac{1}{\mu }\frac{dx}{dt}$. Отсюда можно вывести уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:

$\{\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& =\mu (x-\frac{1}{3}{x}^3-y)\\ \frac{dy}{dt}& =\frac{1}{\mu }x\end{array}$.

Можно также совершить другую замену $y=\frac{dx}{dt}$ и получить

$\{\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}& =y\\ \frac{dy}{dt}& =\mu (1-x^2)y-x\end{array}$.

Осциллятор со свободными колебаниями

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при $\mu =0$ и при $\mu >0$. Очевидно, что третьего режима — $\mu <0$ — не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным.

1) Когда $\mu =0$, то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=0$.

Это уравнение гармонического осциллятора.

2) При $\mu >0$ система имеет некие предельные циклы. Чем дальше $\mu$ от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x=A\sin (\omega t)$, где

$A$ — амплитуда внешнего гармонического сигнала,

$\omega$ — его угловая частота.

Галерея

• 
  Фазовый портрет осциллятора. Виден предельный цикл.
• 
  Изменение формы предельного цикла при изменении $\mu$
• 
  Релаксационные колебания осциллятора. $\mu =5$.
• 
  Хаотичное поведение осциллятора при воздействии внешней гармонической вынуждающей силы. $\mu =8,53;A=1,2;\omega =2,10$
• 
  Принципиальная схема на триоде.

См. также

• Осциллятор Дуффинга
• Цепь Чуа
• Теория хаоса

Ссылки

• Примеры фазовых портретов осциллятора.