Уравнение Саха

Шаблон:Значения Ионизационное уравнение Са́ха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено Эггертом в 1919 году для недр звёзд, а в 1920 году применено индийским астрофизиком Мегнадом Саха для фотосферы. Оно позволило объяснить спектральную последовательность звёзд (за что и было названо в честь Саха). Независимо Ирвингом Ленгмюром оно было получено в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звёздных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы.

Условия применимости

Уравнение Саха выполняется, если ионизация и рекомбинация проходят по одному и тому же пути, плазма рассматривается как идеальный газ (при не слишком низких и не слишком высоких плотностях), кулоновская энергия мала по сравнению с тепловой.

Определение

Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

$\frac{n_{i+1}{n}_e}{n_i}=\frac{2}{{\mathrm{\Lambda }}^3}\frac{u_{i+1}}{u_i}\exp [-\frac{({\epsilon }_{i+1}-{\epsilon }_i)}{k_{B}T}],$

где

• $n_i$ — концентрация атомов в $i$-й степени ионизации; $i$ — число недостающих электронов.
• $n_e$ — концентрация электронов
• ${\epsilon }_i$ — энергия, необходимая для удаления $i$ электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома $i$-й степени ионизации.
• $u_i=\sum _n^z{g}_n(i)e^{-\frac{E_n}{k_{B}T}}$ — статистическая сумма:
  • $g_n(i)$ — статистический вес уровня $n$ $i$-кратного иона.
  • $T$ — температура газа
  • $k_B$ — постоянная Больцмана
• $\mathrm{\Lambda }\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_e{k}_{B}T}}$ — длина волны де Бройля (Тепловая длина волны)
  • $m_e$ — масса электрона
  • $h$ — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: $n_1=n_e$, тогда полную плотность $n$ можно ввести как $n=n_0+n_1$. Уравнение Саха можно представить в виде:

$\frac{n_e^2}{n-n_e}=\frac{2}{{\mathrm{\Lambda }}^3}\frac{g_1}{g_0}\exp [-\frac{\epsilon }{k_{B}T}]$,

где $\epsilon$ — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

$\frac{n^{+}}{n}{P}_e=\frac{2u_1}{u_0}\frac{{\left(2\pi m_e\right)}^{3/2}}{h^3}{\left(k_{B}T\right)}^{5/2}{e}^{-\frac{\epsilon }{k_{B}T}},$

где $P_e$ — давление электронов.

Ссылки

• A detailed derivation from University of Utah Physics DepartmentШаблон:Ref-en
• Lecture notes from University of Maryland Department of AstronomyШаблон:Ref-en
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135—153Шаблон:Ref-en
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148—160Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Книга