Уравнение Фридмана

Шаблон:Другие значения Уравнение Фридмана — в космологии уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году.

Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-a(t{)}^{2}d{l}^2,$

где $d{l}^2$ — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, $a(t)$ — масштаб («размер») вселенной.

Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Сферические координаты

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

$d{s}^2=a(\eta {)}^2(d{\eta }^2-d{\chi }^2-{\sin }^2\chi (d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)),$

где $r=a\cdot \sin \chi$ — фотометрическое расстояние, $\chi \in [0,\pi ]$; $\theta ,\varphi$ — сферические углы; $\eta$ — масштабированное время, $ad\eta =dt$.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

$R_{\chi }^{\chi }=R_{\theta }^{\theta }=R_{\varphi }^{\varphi }=-\frac{1}{a^4}(2a^2+a{\text{'}}^2+a{a}^{″}),$

$R_{\eta }^{\eta }=\frac{3}{a^4}(a{\text{'}}^2-a{a}^{″}),$

$R=-\frac{6}{a^3}(a+a^{″}),$

где штрих означает дифференцирование по $\eta$.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

$T_{ab}=(ϵ+p)u_a{u}_b-p{g}_{ab},$

где $ϵ$ плотность энергии, $p$—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна $u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\}$.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

$R_{\eta }^{\eta }-\frac{1}{2}R=\kappa T_{\eta }^{\eta },$

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

$\frac{3}{a^4}(a^2+a{\text{'}}^2)=\kappa ϵ.$

Если связь плотности энергии $ϵ$ и давления $p$ (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной $a$, используя уравнение сохранения энергии

$dϵ=-(ϵ+p)\frac{3da}{a}.$

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

$\eta =\pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa ϵa^2-1}}.$

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

$d{s}^2=a(\eta {)}^2(d{\eta }^2-d{\chi }^2-{\sinh }^2\chi (d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)),$

где $r=a\cdot \sinh \chi$, $\chi \in [0,\mathrm{\infty }]$; $\theta ,\varphi$ — сферические углы; $\eta$ — масштабированное время, $ad\eta =dt$.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой $\{a,\eta ,\chi \}\to \{ia,i\eta ,i\chi \}$.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

$\frac{3}{a^4}(-a^2+a{\text{'}}^2)=\kappa ϵ.$

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

$d{s}^2=a(\eta {)}^2(d{\eta }^2-d{\chi }^2-{\chi }^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)),$

где $r=a\chi$, $\chi \in [0,\mathrm{\infty }]$; $\theta ,\varphi$ — сферические углы; $\eta$ — масштабированное время, $ad\eta =dt$.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе $r\ll a\to \mathrm{\infty }$.

Замечая, что $a^{\prime }/a^2=\dot{a}/a$, где $\dot{a}\equiv da/dt$, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

$3\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}=\kappa ϵ.$

Приведённые радиальные координаты

Шаблон:Main В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

$d{l}^2=\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2,$

где $\theta ,\varphi$ — сферические угловые координаты;

$r$ — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса $r$ с центром в начале координат равна $2\pi r;$

$k$ — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;

$d{\mathrm{\Omega }}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2.$

Решения уравнения Фридмана

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.

Ссылки

• Шаблон:Cite book