Уравнения Прока

Уравнения Прока — обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде

${\partial }_i{F}^{ik}+m^2{A}^k=0$

$F^{kl}={\partial }^k{A}^l-{\partial }^l{A}^k$,

где $F^{ik}$ — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

$F^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& -B_z& B_y\\ E_y& B_z& 0& -B_x\\ E_z& -B_y& B_x& 0\end{array}\right)$

Уравнения Прока также могут быть представлены в виде

${\partial }_i{F}^{ik}+m^2{A}^k=0$

$({\partial }_k{\partial }^k+m^2)A^l=0$.

Уравнения Прока не являются калибровочно-инвариантными.

Лагранжева плотность

Рассматривается поле четырех-потенциала A^μ = (φ/c, A), где φ — это электростатический потенциал, A — магнитный потенциал. Лагранжева плотность задана следующим образом:

$ℒ=-\frac{1}{16\pi }({\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu })+\frac{m^2{c}^2}{8\pi {\hslash }^2}{A}^{\nu }{A}_{\nu }.$

где c — скорость света, a ħ — приведенная постоянная Планка.

Вывод уравнения

Уравнение Эйлера — Лагранжа движения для такого Лагранжиана, также называемое Уравнением Прока, имеет следующий вид:

${\partial }_{\mu }({\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu })+{\left(\frac{mc}{\hslash }\right)}^2{A}^{\nu }=0$

что эквивалентно следующему уравнению

$[{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }+{\left(\frac{mc}{\hslash }\right)}^2]A^{\nu }=0$

при условии

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$

которое является просто калибровкой Лоренца. При условии, что m = 0, уравнения обращаются в уравнения Максвелла в вакууме (то есть подразумевается отсутствие зарядов и токов). Уравнение Прока тесно связано с уравнением Клейна — Гордона — Фока.

В более привычных терминах уравнение имеет вид:

$◻\varphi -\frac{\partial }{\partial t}(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=-{\left(\frac{mc}{\hslash }\right)}^2\varphi$

$◻𝐀+\mathrm{\nabla }(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)=-{\left(\frac{mc}{\hslash }\right)}^2𝐀$

Также уравнение Прока можно вывести из теоретико-групповых соображений, как уравнение, инвариантное относительно преобразований Пуанкаре и описывающее волновую функцию элементарной частицы с массой $m$, спином $1$, положительной энергией, фиксированной P-чётностью.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — 320 с. (с. 29, 33).
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 511 с., (с. 86-87).
• Ициксон К., Зюбер Ж.—Б. Квантовая теория поля. Том 1. — М.: Мир, 1984. — 448 с. (с. 166).

См. также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Клейна — Гордона
• Уравнения Максвелла
• Прока, Александру

Ссылки

• Уравнение Прока в «Физической энциклопедии»