Фононное рассеяние

Проходя через материал, фононы могут рассеиваться по нескольким механизмам: фонон-фононное рассеяние переброса, рассеяние на примесях или дефектах кристаллической решётки, фонон-электронное рассеяние и рассеяние на границе образца. Каждый механизм рассеяния можно охарактеризовать скоростью релаксации 1/ $\tau$, обратному соответствующему времени релаксации.

Все процессы рассеяния можно учесть с помощью правила Маттиссена. Тогда суммарное время релаксации ${\tau }_C$ можно записать как:

$\frac{1}{{\tau }_C}=\frac{1}{{\tau }_U}+\frac{1}{{\tau }_M}+\frac{1}{{\tau }_B}+\frac{1}{{\tau }_{\text{ph-e}}}$

Параметры ${\tau }_U$, ${\tau }_M$, ${\tau }_B$, ${\tau }_{\text{ph-e}}$ обусловлены рассеянием переброса, рассеянием на примесях, граничным рассеянием и фонон-электронным рассеянием соответственно.

Фонон-фононное рассеяние

Для фонон-фононного рассеяния эффекты нормальных процессов (процессов, сохраняющих волновой вектор фонона - N процессов) игнорируются в пользу процессов переброса (U процессов). Поскольку нормальные процессы изменяются линейно с изменением $\omega$, а процессы переброса зависят от ${\omega }^2$, рассеяние переброса преобладает на высоких частотах . ${\tau }_U$ определяется как:

$\frac{1}{{\tau }_U}=2{\gamma }^2\frac{k_{B}T}{\mu V_0}\frac{{\omega }^2}{{\omega }_D}$

где $\gamma$ – параметр Грюнайзена, Шаблон:Mvar – модуль сдвига, Шаблон:Mvar – объем, приходящийся на один атом, и ${\omega }_D$—частота Дебая.

Трехфононный и четырехфононный процесс

Традиционно перенос тепла в неметаллических твердых телах описывался процессом трехфононного рассеяния, а роль процессов четырехфононного рассеяния и рассеяния более высокого порядка считалась незначительной. Недавние исследования показали, что четырехфононное рассеяние может быть важным почти для всех материалов при высокой температуре и для некоторых материалов при комнатной температуре. Предсказанная значимость четырехфононного рассеяния в арсениде бора была подтверждена экспериментами.

Разностное рассеяние на примесях

Разностное рассеяние на примесях определяется выражением:

$\frac{1}{{\tau }_M}=\frac{V_0\mathrm{\Gamma }{\omega }^4}{4\pi v_g^3}$

где $\mathrm{\Gamma }$ является мерой силы рассеяния примесей ; $v_g$ зависит от дисперсионных кривых.

При самых низких температурах вклад от рассеяния на границах всегда будет основным и низкотемпературная асимптотика теплопроводности трёхмерного кристалла имеет вид $k\propto T^3$ . Рассеяние на дислокациях и точечных дефектах будет давать вклад в сторону понижения теплопроводности при повышении температуры, уменьшая длину свободного пробега.

Рассеяние на границе образца

Рассеяние на границе образца особенно важно для низкоразмерных наноструктур. В таких структурах скорость релаксации определяется выражением:

$\frac{1}{{\tau }_B}=\frac{V}{L_0}(1-p)$

где $L_0$ – характерная длина системы, а $p$ представляет долю зеркально рассеянных фононов.

Параметр $p$ для произвольной поверхности требует сложных расчетов. Для поверхности, характеризующейся среднеквадратичной шероховатостью $\eta$, зависящее от длины волны значение для $p$ можно рассчитать с помощью

$p(\lambda )=\exp (-16\frac{{\pi }^2}{{\lambda }^2}{\eta }^2{\cos }^2\theta )$

где $\theta$ —угол падения.

При стандартном случае, то есть при $\theta =0$, совершенно зеркальное рассеяние (т.е. $p(\lambda )=1$ ) потребует сколь угодно большой длины волны или, наоборот, сколь угодно малой шероховатости. Чисто зеркальное рассеяние не вносит связанного с границей увеличения теплового сопротивления. Однако в диффузионном пределе при $p=0$ скорость релаксации становится

$\frac{1}{{\tau }_B}=\frac{V}{L_0}$

Это уравнение также известно как предел Казимира.

Вышеописанные уравнения могут во многих случаях точно моделировать теплопроводность изотропных наноструктур с характерными размерами порядка длины свободного пробега фононов. В целом требуются более подробные расчеты, чтобы полностью описать взаимодействие фононов с границей на всех соответствующих колебательных модах в произвольной структуре.

Фонон-электронное рассеяние

Рассеяние электрона на колебаниях кристаллической решетки описывается в терминах поглощения и испускания фононов движущимся электроном. Фононы представляют собой квазичастицы, описывающие возбуждения кристаллической решетки с некоторым законом дисперсии $\omega ={\omega }_s(q)$, где $q$ – квазиимпульс фонона, $\omega$ – его частота, а индекс $s$ нумерует различные ветви фононного спектра (акустические, оптические, продольные, поперечные). Процесс рассеяния соответствует передаче импульса и энергии от электрона колебаниям решетки и наоборот.

Фонон-электронное рассеяние также может вносить вклад, когда материал сильно легирован. Соответствующее время релаксации определяется как:

$\frac{1}{{\tau }_{\text{ph-e}}}=\frac{n_e{ϵ}^2\omega }{\rho V^2{k}_{B}T}\sqrt{\frac{\pi m^{*}{V}^2}{2k_{B}T}}\exp (-\frac{m^{*}{V}^2}{2k_{B}T})$

Параметр $n_e$ — концентрация электронов проводимости, ε — потенциал деформации, ρ — массовая плотность, m* — эффективная масса электрона. Обычно считается, что вклад в теплопроводность фонон-электронного рассеяния пренебрежимо мал.

Смотрите также

• Процессы переброса
• Электрон-фононное взаимодействие