Формула Лиувилля — Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

$y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+P_2(x)y^{(n-2)}+...+P_n(x)y=0,$

тогда $W(x)=W(x_0)e^{-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{P}_1(\zeta )d\zeta }=C{e}^{-\int P_1(x)dx},$ где $W(x)$ — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

$y^{\prime }(x)=A(x)y(x),$ где $A(x)$ — непрерывная квадратная матрица порядка $n$, справедлива формула Лиувилля-Остроградского

$W(x)=W(x_0)e^{\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{t}\mathrm{r}A(\zeta )d\zeta },$ где $\mathrm{t}\mathrm{r}A(x)$ — след матрицы $A(x)$

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }(x)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}(x)& a_{12}(x)\\ a_{21}(x)& a_{22}(x)\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ по переменной х имеет вид $\frac{d\mathrm{\Delta }}{dx}=(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}{)}^{\prime }=a_{1^{\prime }1}{a}_{22}+a_{11}{a}_{2^{\prime }2}-a_{1^{\prime }2}{a}_{21}-a_{12}{a}_{2^{\prime }1}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{1^{\prime }1}& a_{1^{\prime }2}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{2^{\prime }1}& a_{2^{\prime }2}\end{array}\right|$

Правило дифференцирования определителя размерности $n$

Пусть $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }(x)=\det \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}(x)& a_{12}(x)& \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x)& a_{22}(x)& \dots & a_{2n}(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}(x)& a_{n2}(x)& \dots & a_{nn}(x)\end{array}\right)$

Тогда для производной ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x)$ верно

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1^{\prime }1}(x)& a_{1^{\prime }2}(x)& \dots & a_{1^{\prime }n}(x)\\ a_{21}(x)& a_{22}(x)& \dots & a_{2n}(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}(x)& a_{n2}(x)& \dots & a_{nn}(x)\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}(x)& a_{12}(x)& \dots & a_{1n}(x)\\ a_{2^{\prime }1}(x)& a_{2^{\prime }2}(x)& \dots & a_{2^{\prime }n}(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}(x)& a_{n2}(x)& \dots & a_{nn}(x)\end{array}\right|+\dots +\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}(x)& a_{12}(x)& \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x)& a_{22}(x)& \dots & a_{2n}(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n^{\prime }1}(x)& a_{n^{\prime }2}(x)& \dots & a_{n^{\prime }n}(x)\end{array}\right|$

(в $i$-м слагаемом продифференцирована $i$-я строка)

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ функции $p(x),q(x)$ непрерывны на $[a;b]$, а

$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$ — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

$\frac{dW}{dx}=\frac{d}{dx}\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_{1^{\prime }}& y_{2^{\prime }}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{y}_{1^{\prime }}& y_{2^{\prime }}\\ y_{1^{\prime }}& y_{2^{\prime }}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_{1^{″}}& y_{2^{″}}\end{array}\right|$

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

${y_1}^{″}=-p{y_1}^{\prime }-q{y}_1$

${y_2}^{″}=-p{y_2}^{\prime }-q{y}_2$

во второе слагаемое, получим

$\frac{dW}{dx}=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ -p{y_1}^{\prime }-q{y}_1& -p{y_2}^{\prime }-q{y}_2\end{array}\right|$

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

$\frac{dW}{dx}=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ -p{y_1}^{\prime }& -p{y_2}^{\prime }\end{array}\right|=-pW$

решения линейно независимы, поэтому

$W\ne 0\to \frac{dW}{W}=-pdx$ — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|\frac{W}{C}\right|=-\int p(x)dx\to W=C{e}^{-\int p(x)dx}$

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции ${𝐲}_1(x),{𝐲}_2(x),\dots ,{𝐲}_n(x)$ — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу $\mathrm{\Phi }$ следующим образом

$\mathrm{\Phi }(x)=\Vert \begin{array}{cccc}{𝐲}_1(x)& {𝐲}_2(x)& \dots & {𝐲}_n(x)\end{array}\Vert$

Тогда $W(x)\equiv \det \mathrm{\Phi }(x)$. Воспользуемся тем, что $y_i(x)$ — решения системы ОДУ, то есть ${{𝐲}_i}^{\prime }(x)=A(x){𝐲}_i(x)$.

В матричном виде последнее представимо в виде $\Vert \begin{array}{cccc}{{𝐲}_1}^{\prime }(x)& {{𝐲}_2}^{\prime }(x)& \dots & {{𝐲}_n}^{\prime }(x)\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{cccc}A(x){𝐲}_1(x)& A(x){𝐲}_2(x)& \dots & A(x){𝐲}_n(x)\end{array}\Vert =A(x)\mathrm{\Phi }(x)$

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=A(x)\mathrm{\Phi }(x)$

Пусть ${\phi }_i(x)$ — $i$-я строка матрицы $\mathrm{\Phi }(x)$. Тогда

${{\phi }_i}^{\prime }(x)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x){\phi }_j(x)$

Последнее означает, что производная от $i$-й строки матрицы $\mathrm{\Phi }(x)$ есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из $i$-й строки матрицы $A(x)$. Рассмотрим определитель матрицы $\mathrm{\Phi }(x)$, в которой $i$-я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из $i$-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

$\left|\begin{array}{c}{\phi }_1(x)\\ {\phi }_2(x)\\ ⋮\\ {{\phi }_i}^{\prime }(x)\\ ⋮\\ {\phi }_n(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\phi }_1(x)\\ {\phi }_2(x)\\ ⋮\\ \sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x){\phi }_j(x)\\ ⋮\\ {\phi }_n(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\phi }_1(x)\\ {\phi }_2(x)\\ ⋮\\ \sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x){\phi }_j(x)-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}(x){\phi }_j(x)\\ ⋮\\ {\phi }_n(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\phi }_1(x)\\ {\phi }_2(x)\\ ⋮\\ a_{ii}(x){\phi }_i(x)\\ ⋮\\ {\phi }_n(x)\end{array}\right|=a_{ii}(x)W(x)$

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

$W^{\prime }(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\mathrm{tr}A(x)W(x)$

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

$W(x)=W(x_0)e^{\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{tr}A(\zeta )d\zeta }$

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка

$y^{(n)}(x)+P_1(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y^{\prime }(x)+P_n(x)y(x)=0$

эквивалентно следующей системе

$\begin{array}{cc}{y}_{n^{\prime }-1}(x)& =-P_1(x)y_{n-1}(x)-\dots -P_{n-1}(x)y_1(x)-P_n(x)y_0(x)\\ y_{n^{\prime }-2}(x)& =y_{n-1}\\ ⋮\\ y_{1^{\prime }}(x)& =y_2\\ y_{0^{\prime }}(x)& =y_1\\ \end{array}$

с матрицей $A(x)$ следующего вида

$A(x)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ 0& 0& \ddots & \ddots & 0\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -P_n(x)& -P_{n-1}(x)& \dots & -P_2(x)& -P_1(x)\end{array}\right)$

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы $A(x)$ равен $-P_1(x)$. Подстановкой в формулу для системы получаем

$W(x)=W(x_0)e^{-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{P}_1(\zeta )d\zeta }$

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение $y_1(x)$ линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. $n=2$. Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение $y_2(x)$ той же системы.

Распишем вронскиан:

$C{e}^{-\int P_1(x)dx}=y_1{y_2}^{\prime }-{y_1}^{\prime }{y}_2=W.$

$\frac{W}{y_1^2}=\frac{y_1{y_2}^{\prime }-{y_1}^{\prime }{y}_2}{y_1^2}=\left(\frac{y_2}{y_1}\right),$ поэтому

$\frac{y_2}{y_1}=\int \frac{W}{y_1^2}dx+B$$⟶y_2=y_1(\int \frac{W}{y_1^2}dx+B)=y_1\int \frac{C{e}^{-\int P_1(x)dx}}{y_1^2}dx+B{y}_1$

Так как для линейной независимости $y_1(x)$ и $y_2(x)$ достаточно $W\ne 0$, приняв $C=1,B=0$, получим $y_2=y_1\int \frac{e^{-\int P_1(x)dx}}{y_1^2}dx.$

Пример

Пусть в уравнении $y^{″}-\mathrm{t}\mathrm{g}x{y}^{\prime }+2y=0$ известно частное решение $y_1=\sin x$. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

$y_2=\sin x\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x{e}^{-\int \tan xdx}}=\sin x\ln |\tan x+\frac{1}{\cos x}|-1.$

Тогда общее решение однородного уравнения $y=C_1(\sin x\ln |\tan x+\frac{1}{\cos x}|-1)+C_2\sin x$

Используемая литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Шаблон:Rq