Формула Серсика

Вид одномерной функции Серсика при различных $n$ и одинаковых $r_e$ и $I_e$

Формула Серсика — эмпирическая формула распределения поверхностной яркости в галактиках. Является более общей формулой, чем закон де Вокулёра, и хорошо описывает различные галактики и отдельные компоненты их структуры.

Формула названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который её впервые использовал.

Формула

Двумерные функции Серсика для нескольких разных $n$. Для всех моделей $r_e$ одинаково (показано как радиус окружности внизу справа), $I_e$ отличается таким образом, что полная светимость всех моделей одинакова

Формула Серсика (иногда закон Серсика или закон r^1/n) для галактик выражает зависимость между поверхностной яркостью $I$ в точке и её угловым расстоянием до центра галактики $r$. Формулу можно записать следующим образом:

$\frac{I(r)}{I_e}=\exp [-{\nu }_n({\left[\frac{r}{r_e}\right]}^{1/n}-1)],$

где $I_e$ — поверхностная яркость на расстоянии $r_e$ от центра, которое называется эффективным радиусом, внутри которого излучается половина полной светимости галактики.

Положительная величина $n$ называется индексом Серсика и характеризует общий вид распределения: при небольших $n$ распределение яркости становится более равномерным и более резко обрывается к краю, в то время как при больших $n$ в центре возникает резкий пик яркости, а во внешних частях яркость с удалением от центра убывает медленнее.

Величина ${\nu }_n$ — коэффициент, выбираемый таким образом, чтобы внутри радиуса $r_e$ излучалась половина полной светимости галактики. Коэффициент ${\nu }_n$ не независим и связан с $n$ (см. нижеШаблон:Переход).

Другое распространённое представление формулы Серсика имеет вид:

$I(r)=I_0{e}^{-{\nu }_n{\alpha }^{1/n}},$

где $I_0$ — центральная поверхностная яркость, а $\alpha =r/r_e$. Между $I_0$ и $I_e$ выполняется соотношение $I_e=I_0{e}^{-{\nu }_n}$.

Также можно записать формулу Серсика, если использовать поверхностную яркость в звёздных величинах на квадратную секунду дуги $\mu$:

$\mu (r)={\mu }_0+\frac{2,5{\nu }_n}{\ln 10}{\left(\frac{r}{r_e}\right)}^{1/n},$

где ${\mu }_0$ — звёздная величина на квадратную секунду, соответствующая $I_0$. Если аналогично определить ${\mu }_e$, то будет верно ${\mu }_e={\mu }_0+2,5{\nu }_n/\ln 10$.

Связь между n и ν_n

По определению, ${\nu }_n$ выбирается так, чтобы внутри $r_e$ излучалась половина полной светимости галактики. Тогда её можно найти через функцию $L(<r)$, которая выражает полную светимость $L$ внутри круга с радиусом $r$. Функцию можно записать в виде интеграла по радиусу:

$L(<r)=\underset{0}{\overset{r}{\int }}I(R)2\pi RdR.$

После раскрытия $I(R)$ и замены $x={\nu }_n(r/r_e{)}^{1/n}$ получается:

$L(<r)=I_0{r}_e^2\frac{2\pi n}{({\nu }_n{)}^{2n}}\gamma (2n,x),$

где $\gamma$ ― неполная гамма-функция, определяемая следующим образом:

$\gamma (\eta ,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t}{t}^{\eta -1}dt.$

Функция $L(<r)$ будет равна полной светимости $L_T$, если $r=\mathrm{\infty }$. С учётом того, что $\gamma (\eta ,\mathrm{\infty })=\mathrm{\Gamma }(\eta )$, где $\mathrm{\Gamma }(\eta )$ — гамма-функция:

$L_T=I_0{r}_e^2\frac{2\pi n}{({\nu }_n{)}^{2n}}\mathrm{\Gamma }(2n).$

Поскольку внутри $r_e$ излучается половина полной светимости галактики, то можно записать уравнение:

$\mathrm{\Gamma }(2n)=2\gamma (2n,{\nu }_n).$

Получается, что ${\nu }_n$ зависит от $n$. Для данного уравнения на практике применимы численные решения, но также хорошую точность дают линейные приближения: например, в диапазоне $0,5<n<10$ применимо приближение ${\nu }_n=1,9992n-0,3271$. Если галактика имеет эллиптическую, а не круговую форму, то формулы для $L(<r)$ и $L_T$ нужно домножить на $1-\epsilon$ — здесь $\epsilon =1-b/a$ — видимая эллиптичность, а $b/a$ — отношение осей эллипса, описывающего изофоту.

Частные случаи и сходные формулы

Формула Серсика при некоторых $n$ совпадает с другими функциями: при $n=4$ функция переходит в закон де Вокулёра, при $n=1$ — в убывающую показательную функцию, при $n=0,5$ — в функцию Гаусса.

Профиль Эйнасто, который используется для описания распределения плотности в гало тёмной материи, математически описывается той же функцией, что и закон Серсика. Он может быть записан как пропорциональность $\rho (r)\propto e^{-(r/r_{*}{)}^{\alpha }}$, где $\rho$ — плотность тёмной материи на расстоянии $r$ от центра, $r_{*}$ — характерный радиус, а $\alpha$ — параметр, эквивалентный $1/n$, в то время как подобная пропорциональность для закона Серсика выглядит как $I(r)\propto e^{-(r/r_e{)}^{1/n}}$.

Применение

Закон Серсика хорошо описывает распределение яркости как в целых галактиках, так и в отдельных её частях. Распределение поверхностной яркости в большинстве балджей и в эллиптических галактиках невысокой яркости хорошо моделируются законом Серсика при $1<n<4$. Для балджей с невысокой светимостью в основном подходит $n=1$, а для наиболее ярких балджей и ярких эллиптических галактик — $n=4$ (закон Вокулёра), и в среднем подходящий $n$ увеличивается с ростом светимости балджа. Для дисков галактик обычно $n=1$Шаблон:Sfn. Для баров закон Серсика также может использоваться — в этом случае обычно $0,5<n<1$, однако нередко бывает и вне этого значения.

С развитием компьютерных методов анализа изображений наиболее распространённым стал анализ составляющих галактик по отдельности, в том числе с использованием функции Серсика для их описания, а не апроксимация изображения галактики законом Серсика целиком.

Закон Серсика является полностью эмпирическим и не следует из каких-либо теоретических соображений, хотя в численных моделях воспроизводятся распределения яркости, описываемые законом Серсика. Например, в моделях в результате слияний галактик с сопоставимыми массами получившаяся система распределения яркости близка к закону Серсика с $n=4$, в то время как распределения яркости с $n=1$ появляются в результате «спокойной» динамической эволюцииШаблон:Sfn.

Показатель

$n$

для конкретной галактики коррелирует с её морфологическим типом. Для эллиптических галактик и балджей наблюдается корреляция

$n$

с множеством параметров, среди которых — светимость и размеры, масса чёрной дыры в центре и центральная дисперсия скоростей.

• Несколько галактик, для которых проводилась апроксимация распределения яркости законом Серсика, изображения SDSS (в скобках указано полученное $n$)
• 
  NGC 2976 ($n\approx 0,55$)
• 
  NGC 428 ($n\approx 1,2$)
• 
  M 74 ($n\approx 2,1$)
• 
  M 81 ($n\approx 3,4$)
• 
  M 84 ($n\approx 4,9$)

История

Формула Серсика названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который впервые использовал её. В 1968 году он опубликовал «Атлас южных галактик» и применил свою формулу, чтобы описать распределение яркости во всех достаточно крупных галактиках атласа. Серсик также показал, что параметр $n$ коррелирует с морфологическим типом галактики.

Сам Серсик рассматривал свою формулу как обобщение закона де Вокулёра, который Жерар Анри де Вокулёр предложил в 1948 году.

Литература

• Шаблон:Книга