Формулы Грина — Кубо

Формулы Грина — Кубо или соотношения Грина — Кубо связывают кинетические коэффициенты (коэффициенты переноса) линейных диссипативных процессов с временны́ми корреляционными функциями соответствующих потоков.

Названы по именам Шаблон:Нп3, установившем их в 1952—1954 годах на основе теории марковских процессов, и Риого Кубо, установившем их в 1957 году с помощью теории реакции статистической системы на внешние возмущения.

Иногда формулы Грина — Кубо называют формулами Кубо. При этом существуют отдельные формулы Кубо, являющиеся частным случаем формул Грина — Кубо.

Формулы Грина — Кубо применимы к газам, жидкостям и твёрдым телам как для классически, так и для квантовых систем. Они являются одним из наиболее важных результатов статистической теории необратимых процессов. Шаблон:Sfn

Коэффициент самодиффузии

Коэффициент самодиффузии $D$ выражается через интеграл корреляционной функции проекции скорости (импульса) частицы:

$D=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{m}_1^{-2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\epsilon \tau }⟨p_1^x(0)p_1^x(\tau )⟩\mathrm{d}\tau ,$

где $p_i$ — импульс частицы (номер 1), верхний индекс $x$ означает $x$-компоненту вектора, $\tau$ — время. Угловые скобки означают усреднение по равновесному распределению Гиббса. В классическом случае формула упрощается:

$D=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}⟨v_1^x(0)v_1^x(\tau )⟩\mathrm{d}\tau .$

Коэффициент теплопроводности

$\lambda =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\underset{V\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{V{k}_{B}T}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\epsilon \tau }⟨J_Q^x(0)J_Q^x(\tau )⟩\mathrm{d}\tau ,$

где $\lambda$ — коэффициент теплопроводности, $V$ — объём, $T$ — температура, $k_B$ — постоянная Больцмана, $J_Q^x$ — $x$-компонента потока тепла.

Коэффициент сдвиговой вязкости

$\eta =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\underset{V\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{V{k}_{B}T}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\epsilon \tau }⟨{\pi }^{xy}(0){\pi }^{xy}(\tau )⟩\mathrm{d}\tau ,$

где $\eta$ — коэффициент сдвиговой вязкости, ${\pi }^{xy}$ — компоненты тензора потока полного импульса.

Коэффициент объёмной вязкости

$\zeta =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\underset{V\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{V{k}_{B}T}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\epsilon \tau }⟨(1-𝒫){\pi }^{xx}(0){\pi }^{xx}(\tau )⟩\mathrm{d}\tau ,$

где $\zeta$ — коэффициент объёмной вязкости, оператор

$𝒫{\pi }^{xx}=⟨{\pi }^{xx}⟩+(H-⟨H⟩)\frac{\partial ⟨{\pi }^{xx}⟩}{\partial ⟨H⟩}+(N-⟨N⟩)\frac{\partial ⟨{\pi }^{xx}⟩}{\partial ⟨N⟩},$

$H$ — гамильтониан системы, $N$ — полное число частиц.

См. также

• Матрица плотности
• Уравнение Линдблада

Литература

• M. S. Green, Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids, J. Chem. Phys 22 (1954), p. 398—413.
• R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, J. Phys. Soc. Jpn. 12 (1957), p. 570—586.
• Шаблон:Книга

Шаблон:Phys-stub