Функтор Ext

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от Шаблон:Lang-en — расширение.

Мотивировка: расширения модулей

Эквивалентность расширений

Пусть A — абелева категория. Согласно Шаблон:Нп5, можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида

$0\to X\to Y\to Z\to 0$.

Два расширения

$0\to X\to Y\to Z\to 0$

$0\to X\to Y^{\prime }\to Z\to 0$

называются эквивалентными, если существует морфизм $g:Y\to Y^{\prime }$, делающий диаграмму

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & X& \to & Y& \to & Z& \to & 0\\ & & \downarrow \mathrm{id}& & \downarrow g& & \downarrow \mathrm{id}\\ 0& \to & X& \to & Y^{\prime }& \to & Z& \to & 0\end{array}$

коммутативной, где $\mathrm{id}$ — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.

Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают ${\mathrm{Ext}}^1(Z,X)$ и называют множеством классов расширений Z при помощи X.

Сумма Баера

Если даны два расширения

$0\to B\to E\to A\to 0$

$0\to B\to E^{\prime }\to A\to 0$

можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над $A$,

$\mathrm{\Gamma }=\{(e,e^{\prime })\in E\oplus E^{\prime }|g(e)=g^{\prime }(e^{\prime })\}.$

Мы рассматриваем фактор

$Y=\mathrm{\Gamma }/\{(f(b),0)-(0,f^{\prime }(b))|b\in B\}$,

то есть факторизуем по соотношениям $(f(b)+e,e^{\prime })\sim (e,f^{\prime }(b)+e^{\prime })$. Расширение

$0\to B\to Y\to A\to 0$

где первая стрелка отображает $b$ в $[(f(b),0)]=[(0,f^{\prime }(b))]$, а вторая отображает $(e,e^{\prime })$ в $g(e)=g^{\prime }(e^{\prime })$, называется суммой Баера расширений E и E'.

С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → B → E → A → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.

Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.

Определение

Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom

$T(B)={\mathrm{Hom}}_R(A,B)$.

Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом:

${\mathrm{Ext}}_R^n(A,B)=(R^{n}T)(B)$.

В частности, ${\mathrm{Ext}}^0=\mathrm{Hom}$.

Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom$G(A)={\mathrm{Hom}}_R(A,B)$ и определить ${\mathrm{Ext}}_R^n(A,B)=(R^{n}G)(A)$. Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.

Свойства

• ExtШаблон:Su(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен.
• Обратное утверждение также верно: если ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех A, то ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех B, то ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех B, и A проективен.
• ${\mathrm{Ext}}_R^n(\underset{\alpha }{⨁}{A}_{\alpha },B)\cong \prod _{\alpha }{\mathrm{Ext}}_R^n(A_{\alpha },B)$
• ${\mathrm{Ext}}_R^n(A,\prod _{\beta }{B}_{\beta })\cong \prod _{\beta }{\mathrm{Ext}}_R^n(A,B_{\beta })$
• ${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^n(A,B)=0$ при n ≥ 2 для абелевых групп A и B.
• ${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}/p,B)=B/pB$ для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления ${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(A,B)$ для любой конечно порождённой абелевой группы A.
• Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, $S^{-1}{\mathrm{Ext}}_R^n(A,B)\cong {\mathrm{Ext}}_{S^{-1}R}^n(S^{-1}A,S^{-1}B)$.
• Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n:
  • ${\mathrm{Ext}}_R^n(A,B)=0.$
  • Для каждого простого идеала $𝔭$ кольца R, ${\mathrm{Ext}}_{R_{𝔭}}^n(A_{𝔭},B_{𝔭})=0$.
  • Для каждого максимального идеала $𝔪$ кольца R, ${\mathrm{Ext}}_{R_{𝔪}}^n(A_{𝔪},B_{𝔪})=0$.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика
• Шаблон:Книга