Функции Стеклова

Функции Стеклова — функции, введённые русским математиком В. А. Стекловым (в публикации 1907 года) для решения задач, связанных с представлением функций в виде рядов по системам собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Шаблон:Рамка Пусть $f$ — функция, интегрируемая на отрезке $[a,b]$. Тогда функция

$f_h(x)=f_{h,1}(x)=\frac{1}{h}\underset{x-h/2}{\overset{x+h/2}{\int }}f(t)dt=\frac{1}{h}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}f(x+t)dt$

называется функцией Стеклова первого порядка для $f$ с шагом $h>0$.

Определенные по индукции функции

$f_{h,r}(x)=\frac{1}{h}\underset{x-h/2}{\overset{x+h/2}{\int }}{f}_{h,r-1}(t)dt,r=2,3,\dots ,$

называются функциями Стеклова порядка $r$ для $f$ с шагом $h>0$. Шаблон:Конец рамки

Свойства

• Функция $f_h(x)$ имеет производную

$\frac{d}{dx}{f}_h(x)=\frac{1}{h}(f(x+h/2)-f(x-h/2))$

почти во всех точках отрезка $[a,b]$.

• Если $f$ абсолютно непрерывна на всей вещественной оси, то имеют место оценки:

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}|f(x)-f_h(x)|\le {\omega }_f(h/2),$

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}|\frac{d}{dx}{f}_h(x)|\le \frac{1}{h}{\omega }_f(h),$

где ${\omega }_f(\cdot )$ — модуль непрерывности функции $f$.

• Если $f\in L^p(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),$ то аналогичные неравенства имеют место в норме этого пространства.

Литература

• Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации, — М.: Наука, 1965.
• Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование, — СПб: Изд-во СПбГУ, 1995.

Ссылки

Springer. Encyclopaedia of Mathematics.