Центросимметричная матрица

Центросимметри́чная ма́трица (ЦС-матрица) — квадратная матрица $A=\left[\begin{array}{ccc}a& \cdots & b\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b& \cdots & a\end{array}\right]$ порядка Шаблон:Math, элементы которой связаны соотношением Шаблон:Nobr (элементы симметричны относительно геометрического центра матрицы). Частным случаем ЦС-матриц является класс бисимметричных матриц.

Свойства центросимметричных матриц

1. В множестве матриц порядка Шаблон:Math ЦС-матрицы образуют подмножество, замкнутое относительно операций сложения, умножения и транспонирования (как следствие, данное подмножество образует кольцо).
2. Матрица, обратная к ЦС-матрице, сама является ЦС-матрицей.
3. Множество ЦС-матриц порядка Шаблон:Math с определителем, не равным нулю, образует группу по отношению к операции умножения.

Универсальное преобразование ЦС-матриц к блочно-диагональному виду

Для ЦС-матриц найдено универсальное ортогональное преобразование в явном виде, которое приводит любую ЦС-матрицу к блочно-диагональной. Преобразование имеет вид Шаблон:Math, где Шаблон:Math является матрицей преобразования того же порядка, что и Шаблон:Math. Данное преобразование позволяет упростить процесс вычисления собственных элементов ЦС-матрицы.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья