Бисимметричная матрица

Бисимметричная матрица — квадратная матрица, симметричная относительно обеих диагоналей — главной и побочной, то есть одновременно являющаяся центросимметричной и персимметричной.

Может быть определена как матрица, для которой выполнено два утверждения:

• $A=A^{⊺}$,
• $AJ=JA$,

где $J$ — перъединичная матрица того же размера, что и $A$. Условия на элементы могут быть выражены следующим образом:

• $a_{i,j}=a_{j,i}=a_{n+1-j,n+1-i}$,

где $n\times n$ — размерность матрицы.

Пример:

$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ b& f& g& h& d\\ c& g& i& g& c\\ d& h& g& f& b\\ e& d& c& b& a\end{array}\right]$.

Пример бисимметричной матрицы, используемой в приложениях — транспозиционная матрица.

Вещественные бисимметричные матрицы — это те и только те матрицы, чьи собственные вектора не меняются с точностью до знака при умножении на перъединичную матрицу.

Произведение двух бисимметричных матриц является центросимметричной матрицей.

Количество различных элементов биссиметричной $(n\times n)$-матрицы равно:

$\lfloor {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2\rfloor$,

где через $\lfloor \cdot \rfloor$ — операция взятия целой части.