Перъединичная матрица

Перъединичная матрица (обменная матрица) — квадратная матрица, все элементы побочной диагонали которой равны 1, а остальные — 0 (то есть антидиагональная единичная^[1]):

J_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

;

J_{3} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

;

J_{n} = (\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

.

С помощью символа Кронекера можно записать определение элементов перъединичной матрицы как $J_{i j} = δ_{n + 1 - i, j}$ .

Является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

Некоторые свойства:

$J^{⊺} = J$ ;
$J^{n} = I$ для чётных $n$ и $J^{n} = J$ для нечётных $n$ , то есть инволютивна — $J^{- 1} = J$ ;
$t r J = 1$ для нечётных $n$ и $t r J = 0$ для чётных $n$ ;
$(J A)_{i, j} = A_{n + 1 - i, j}$ и $(A J)_{i, j} = A_{i, n + 1 - j}$ для произвольной $(n \times n)$ -матрицы $A$ ;
$\det J = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ .

Понятие перъединичной матрицы может использоваться для определения матриц, обладающих определёнными симметриями, например, квадратная матрица $A$ является: