Инволютивная матрица

Инволютивная матрица — матрица, обратная самой себе, то есть, матрица $A$ , для которой выполнено $A^{2} = E$ .

Свойства

Все инволютивные матрицы являются квадратными корнями из единичной матрицы.
$n \times n$ -матрица $A$ инволютивна тогда и только тогда, когда $\frac{1}{2} (A + E)$ — идемпотентная матрица.
Инволютивная симметричная матрица является ортогональной матрицей, она представляет изометрию соответствующего линейного пространства.
Блочно-диагональная матрица, состоящая из инволютивных матриц, также является инволютивной.
Матрица, транспонированная к инволютивной, также инволютивна.
Если матрица обладает любыми двумя из свойств: симметричность, ортогональность, инволютивность, то она обладает и третьимШаблон:Sfn.

Матрица отражения является примером инволютивной матрицы.

Другие примеры инволютивных матриц:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

(матрица, меняющая строку местами)

(\begin{matrix} + 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Также, например, инволютивны все 2×2-матрицы вида:

𝐀 = (\begin{matrix} a & b \\ \frac{(1 - a^{2})}{b} & - a \end{matrix})

.