Циклический ранг

Циклический ранг ориентированного графа — мера связности орграфа, предложенная Эгганом и Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Это понятие интуитивно отражает, насколько близок орграф к направленному ациклическому графу (НАГ, en:DAG), когда циклический ранг НАГ равен нулю, в то время как ориентированный орграф порядка n с петлями в каждой вершине имеет циклический ранг n. Циклический ранг ориентированного графа тесно связан с глубиной дерева неориентированного графа и высотой итерации регулярных языков. Циклический ранг нашёл применение также в вычислениях с разреженными матрицами (см. статью Шаблон:Harvnb) и логикеШаблон:Sfn.

Определение

Циклический ранг r(G) орграфа Шаблон:Math индуктивно определяется следующим образом

• Если G ацикличен, то Шаблон:Math.
• Если G сильно связан и E не пусто, то

$r(G)=1+\underset{v\in V}{\min }r(G-v),$ где $G-v$ является орграфом, полученным удалением вершины Шаблон:Mvar и всех рёбер, начинающихся или оканчивающихся в Шаблон:Mvar.

• Если G не является компонентой сильной связности, то r(G) равен максимальному циклическому рангу среди всех компонент сильной связности графа G.

Глубина дерева неориентированного графа имеет очень похожее определение с помощью неориентированной связности и связных компонент вместо сильной связности и компонент сильной связности.

История

Циклический ранг ввёл ЭгганШаблон:Sfn в контексте высоты итерации регулярных языков. Циклический ранг переоткрыли Айзенштат и ЛюШаблон:Sfn как обобщение неориентированной глубины дерева. Понятие разрабатывалось с начала 1980-х и применялось для работы с разреженными матрицамиШаблон:Sfn.

Примеры

Циклический ранг направленного ациклического графа равен 0, в то время как полный орграф порядка n с петлёй в каждой вершине имеет циклический ранг n. Кроме этих двух случаев, известен циклический ранг нескольких других орграфов: неориентированный путь $P_n$ порядка n, который обладает отношением симметрии рёбер и не имеет петель, имеет циклический ранг $\lfloor \log n\rfloor$Шаблон:Sfn. Для ориентированного $(m\times n)$-тора $T_{m,n}$, т.е. прямого произведения двух ориентированных контуров длины m и n, имеем $r(T_{n,n})=n$ и $r(T_{m,n})=\min \{m,n\}+1$ для m ≠ nШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Вычисление циклического ранга

Вычисление циклического ранга является сложной задачей. ГруберШаблон:Sfn доказал, что соответствующая задача разрешимости является NP-полной даже для разреженных орграфов с максимальной полустепенью исхода 2. Положительный момент состоит в том, что задача разрешима за время $O(1.9129^n)$ на орграфах с максимальной полустепенью исхода 2 и за время $O^{*}(2^n)$ на общих орграфах. Существует аппроксимационный алгоритм с аппроксимационным коэффициентом $O((\log n{)}^{\frac{3}{2}})$.

Приложения

Высота итерации регулярных языков

Первое приложение циклического ранга было в теории формальных языков для изучения высоты итерации языка регулярных языков. ЭгганШаблон:Sfn установил отношение между теориями регулярных выражений, конечными автоматами и ориентированными графами. В последующих годах это отношение стало известно как теорема ЭгганаШаблон:Sfn. В теории автоматов недетерминированный конечный автомат с ε-переходами (ε-НКА) определяется как 5-ка, (Q, Σ, δ, q₀, F), состоящая из

• конечного множества состояний Q
• конечного множества входных символов Σ (алфавита)
• множества помеченных рёбер δ, называемых отношениями перехода: Q × (Σ ∪{ε}) × Q. Здесь ε означает пустую строку.
• начального состояния q₀ ∈ Q
• множества состояний F (поглощающие состояния) F ⊆ Q.

Слово w ∈ Σ^* допускается ε-НКА автоматом, если существует ориентированный путь из начального состояния q₀ в некоторое конечное состояние из F используя рёбра из δ, так что конкатенация всех меток вдоль пути даёт слово w. Множество всех слов над Σ^*, допускаемых автоматом, является языком, принимаемым автоматом A.

Когда говорят о свойствах орграфов недетерминированного конечного автомата A с множеством состояний Q, естественным образом подразумевается орграф с множеством вершин Q, порождённый отношением переходов.

Теорема Эггана: Высота итерации языка регулярного языка L равна минимальному циклическому рангу среди всех недетерминированных конечных автоматов c ε-переходами (с пустыми переходами), принимающих язык L.

Доказательства этой теоремы дали ЭгганШаблон:Sfn и, позднее, СакаровичШаблон:Sfn.

Разложение Холецкого для разреженных матриц

Другое приложение этой концепции лежит в области вычислений с разреженными матрицами, а именно, для использования Шаблон:Не переведено 5 при вычислении разложения Холецкого (симметричной) матрицы с помощью параллельного алгоритма. Заданную разреженную $(n\times n)$ матрицу M можно интерпретировать как матрицу смежности некоторого симметричного орграфа G с n вершинами, так что ненулевые элементы матрицы соответствуют один-к-одному рёбрам графа G. Если циклический ранг орграфа G не превосходит k, то разложение Холецкого матрицы M может быть вычислено максимум за k шагов на параллельном компьютере с $n$ процессорамиШаблон:Sfn.

См. также

• Контурный ранг

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья