Частное распределение

Частное распределение (маргинальное распределение) — вероятностное распределение вероятностей одной или множества случайных величин, рассматриваемых в качестве компоненты или множества компонент некоторого известного многомерного распределения. Частное распределение вероятностей можно вычислить, суммируя значения всех остальных величин из совместного распределения вероятностей.

Иными словами, $P(X_i)=\sum _{\mathrm{\forall }X\ne X_i}P(X_1,X_2,...,X_n)$.

Определения

Пусть $F(x_1,\dots ,x_n)$ — функция распределения для некоторой случайной величины. Если все переменные, за исключением фиксированного $x_{\gamma }$, стремятся к $+\mathrm{\infty }$, то $F$ будет стремиться к пределу $F_{\gamma }$, который является некой функцией распределения переменной $x_{\gamma }$; так например, $F_1(x_1)=F(x_1,+\mathrm{\infty },\dots ,+\mathrm{\infty })$. Функция $F_{\gamma }(x_{\gamma })$ определяет некоторое одномерное распределение, которое называется частным распределением переменной $x_{\gamma }$.

Таким же образом задаётся частное распределение подмножества переменных.

Примеры

Пример со светофором и пешеходом

Допустим, что требуется вычислить вероятность того, что пешеход будет сбит автотранспортом, переходя дорогу на пешеходном переходе, не обращая внимания на сигнал светофора. Пусть $H$ (для пешехода) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества $\{\text{Сбит},\text{Не сбит}\}$, а $L$ (для сигнала светофора) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества $\{\text{Красный},\text{Желтый},\text{Зеленый}\}$.

Объективно, $H$ будет зависеть от $L$. То есть, $P(H=\text{Сбит})$ будет принимать разные значения в зависимости от того, горит ли красный, желтый или зеленый свет, аналогично для $P(H=\text{Не сбит})$. Например, человек более вероятно будет сбит машиной, если попытается перейти дорогу, когда для автотранспорта горит зеленый свет, чем если горит красный. Другими словами, для каждой пары значений $H$ и $L$ необходимо учитывать совместное распределение вероятностей $H$ и $L$, чтобы найти вероятность одновременного наступления этих событий, если пешеход игнорирует состояние светофора.

Однако при попытке вычислить частное распределение $P(H=\text{Сбит})$ ищется вероятность того, что $H=\text{Сбит}$ в ситуации, когда конкретное значение $L$ неизвестно и когда пешеход игнорирует сигнал светофора. В общем случае, пешеход может быть сбит при любом заданном сигнале светофора. Следовательно, частное распределение можно найти, суммируя $P(H|L)$ для всех возможных значений $L$, причем каждое значение $L$ взвешивается по своей вероятности наступления.

Следующая таблица, показывает условные вероятности быть сбитым, в зависимости от сигнала светофора:

Условное распределение: $P(H|L)$

Шаблон:По диагонали	Красный	Желтый	Зеленый
Не сбит	0.99	0.9	0.2
Сбит	0.01	0.1	0.8

Для нахождения совместного распределения вероятностей требуется больше данных. Например, предположим, что $P(L=\text{Красный})=0.2$, $P(L=\text{Желтый})=0.1$, $P(L=\text{Зеленый})=0.7$. Умножая каждый столбец в условном распределении на вероятность наступления соответствующего сигнала светофора, мы получаем совместное распределение вероятностей $H$ и $L$:

Совместное распределение: $P(H,L)$

Шаблон:По диагонали	Красный	Желтый	Зеленый	$P(H)$
Не сбит	0.198	0.09	0.14	0.428
Сбит	0.002	0.01	0.56	0.572
Сумма	0.2	0.1	0.7	1

Частное распределение $P(H=\text{Сбит})=0.002+0.01+0.56=0.572$, так как это вероятность быть сбитым при красном, желтом или зеленом сигнале светофора. Аналогично, для $P(H=\text{Не сбит})$ — это сумма по соответствующей строке.