Электрический поток

Электри́ческий пото́к ― поток вектора напряжённости электрического поля ($𝐄$) или электрической индукции ($𝐃$) через некоторую поверхность $S$. Вычисляется как интеграл по этой поверхности:

$\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$ или $\mathrm{\Psi }=\underset{S}{\int }\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}$.

На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (В$\cdot$м, для $\mathrm{\Phi }$) или кулон (Кл, для $\mathrm{\Psi }$). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: ${\mathrm{\Phi }}_E$, ${\mathrm{\Psi }}_D$.

Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток (${\mathrm{\Psi }}_D$), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме).

Общий случай

В общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например $d{\mathrm{\Phi }}_E$), то есть скалярное произведение вектора $\overrightarrow{E}$ в данной точке на малый векторный элемент площадки:

$d{\mathrm{\Phi }}_E=𝐄\cdot d𝐒$.

Элемент $d𝐒$ записывается как произведение площади $dS$ данной площадки на единичный вектор нормали к ней $d𝐒=dS𝐧$, так что выражение для элементарного потока приобретает вид

$𝑑{\mathrm{\Phi }}_E=𝐄\cdot 𝐧dS=EdS\cos \theta$,

где через $\theta$ обозначен угол между векторами $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{n}$. Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади:

${\mathrm{\Phi }}_E=\underset{S}{\int }𝑑{\mathrm{\Phi }}_E$.

При вычислении $d{\mathrm{\Psi }}_D$ выполняются аналогичные действия, только с вектором $\overrightarrow{D}$. В общем случае не существует простой связи ни между $d{\mathrm{\Psi }}_D$ и $d{\mathrm{\Phi }}_E$, ни между ${\mathrm{\Psi }}_D$ и ${\mathrm{\Phi }}_E$.

Случай однородного поля

Если электрическое поле однородно вблизи поверхности $S$, оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле

${\mathrm{\Phi }}_E=E\cdot \underset{S}{\int }\cos \theta dS$,

а если ещё поверхность плоская, то по формуле

${\mathrm{\Phi }}_E=ES\cos \theta$.

Если однородно поле $\overrightarrow{D}$, подобное упрощение возможно для ${\mathrm{\Psi }}_D$. При этом однородность $\overrightarrow{E}$ не всегда означает однородность $\overrightarrow{D}$ и наоборот.

Случай слабых полей

В ситуации со слабымиШаблон:Ref электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии, векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой:

$𝐃={\epsilon }_0\epsilon 𝐄$,

где ${\epsilon }_0$ ― диэлектрическая постоянная, а $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат.

В таком случае для элементарных потоков $d{\mathrm{\Psi }}_D$ и $d{\mathrm{\Phi }}_E$ имеется простое соотношение:

$d{\mathrm{\Psi }}_D={\epsilon }_0\epsilon d{\mathrm{\Phi }}_E$.

Если, кроме того, диэлектрик однороден ($\epsilon =$const), то полные потоки оказываются также связаны константой:

${\mathrm{\Psi }}_D={\epsilon }_0\epsilon {\mathrm{\Phi }}_E$.

Для вакуума ($\epsilon =1$) выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях.

Теорема Гаусса и поток

Согласно теореме Гаусса, электрический поток через замкнутую поверхность $S$ равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов. Выражение теоремы может быть записано для потока как $\overrightarrow{E}$, так и $\overrightarrow{D}$:

${\mathrm{\Phi }}_{𝐄}={\oint }_S𝐄\mathrm{d}𝐒={\epsilon }_0^{-1}{Q}_{tot}$,

${\mathrm{\Psi }}_{𝐃}={\oint }_S𝐃\mathrm{d}𝐒=Q$,

но смысл понятия «все заряды» различен. В случае $\overrightarrow{E}$ имеются в виду вообще все заряды ($Q_{tot}$) — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика), а в случае $\overrightarrow{D}$ — только свободные ($Q$).

Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла, в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного):

${\oint }_S𝐃\mathrm{d}𝐒=\underset{V}{\int }\rho dV$,

где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности $S$.

См. также

• Магнитный поток

Литература

• Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Изд.3-е., М: Высшая школа, 1968.-412с.

Примечания

Шаблон:Note 1. Поля считаются слабыми, если смещение связанных зарядов, а следовательно, вызванная ими поляризация, линейно зависят от данного поля. Шаблон:Physics-stub