Энстрофия

Шаблон:Механика сплошных сред В гидродинамике энстрофия Шаблон:Mathcal может интерпретироваться как другой тип Шаблон:Iw; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ и однократно слабо дифференцируемого векторного поля $u\in H^1({ℝ}^n{)}^n$, которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:

$ℰ(u):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }𝐮{|}^{2}dx,$

где $|\mathrm{\nabla }𝐮{|}^2=\sum _{i,j=1}^n{\left|{\partial }_i{u}^j\right|}^2$. Эта величина совпадает с квадратом полунормы $|𝐮{|}_{H^1(\mathrm{\Omega }{)}^n}^2$решения в пространстве Соболева $H^1(\mathrm{\Omega }{)}^n$.

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$, энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность $\mathit{\omega }$,

$ℰ(\mathit{\omega })\equiv \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathit{\omega }{|}^{2}dx$

или, с точки зрения скорости потока,

$ℰ(𝐮)\equiv \underset{S}{\int }|\mathrm{\nabla }\times 𝐮{|}^{2}dS.$

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|𝐮{|}^2)=-\nu ℰ(𝐮).$

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости $\nu$, умноженной на энстрофию.

Источники

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal