Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма) называется функция двух аргументов $K(x,y)$, определяющая некий интегральный оператор $𝒜$ равенством

$\phi (y)=𝒜[\phi (x)]=\int K(x,y)\phi (x)d\mu (x),$

где $x\in 𝕏$ — пространство с мерой $d\mu (x)$, а $\phi (x)$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на $𝕏$.

Примеры

• Ядро $K(x,y)$ называется $L_2$-ядром, если оно удовлетворяет условию:

$\underset{D}{\int }\underset{D}{\int }|K(x,y){|}^{2}dxdy<+\mathrm{\infty },$

где $K(x,y)$ — измеримая на $D$ функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

$K(x,y)\equiv 0$ при $y>x$

называется ядром Вольтерры.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество $K(x,y)=K(y,x)$.
• Если выполняется тождество $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$, где $\overline{K(y,x)}$ — комплексно сопряжённое к $K(x,y)$, то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро $K(x,y)$ допускает разложение вида:

$K(x,y)=\sum _{k=1}^n{X}_k(x)Y_k(y),$

где $\{X_i(x)\},\{Y_i(y)\}$ $(i=1,2,\dots ,n)$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ($L_2$-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Шаблон:Не переведено о разложении ядра гласит: Шаблон:Теорема

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.