LC-осциллятор

LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединённых емкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость $g=di/du$ в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид

$\frac{d^{2}u}{d{t}^2}+\frac{g(u)}{C}\frac{du}{dt}+\frac{1}{LC}u=0,(1)$

Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращенным полиномом третьего порядка $i(u)=a_{1}u+a_3{u}^3$, то при отрицательном коэффициенте $a_1$, положительном $a_3$ и численном равенстве $a_1=-a_3$ уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке $U_0$ таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражением.

$g(u)=\{\begin{array}{cc}kG,& u\ge U_0;\\ -G,& u<U_0,\end{array}$

где $k$, $G$ и $U_0$ — положительные константы. При $k<1$ система неустойчива, при $k>1$ и малых $G$ в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим.

На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при $kG<\sqrt{C/L}$ имеет вид:

$u(t)=\{\begin{array}{c}{u}_1=(a_1\sin {\omega }_{1}t+a_2\cos {\omega }_{1}t)exp(-{\delta }_{1}t);0\le t<t_1;\\ u_2=(a_2\sin {\omega }_{2}t+a_2\cos {\omega }_{2}t)exp({\delta }_{2}t);t_1<t\le T,\end{array}$

где ${\delta }_1=kG/(2C)$, ${\delta }_2=G/(2C)$, ${\omega }_1=\sqrt{1/(LC)-(kG/2C{)}^2}$, ${\omega }_2=\sqrt{1/(LC)-(G/2C{)}^2}$. Период колебания $T$, момент времени $t_1$, служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования $a_{1,2}$, $b_{1,2}$ определяются из решения системы уравнений.

$u_1(0)=U_0$; $u_1(t_1)=U_0$; $u_1(0)=u_2(T)$; $u_1(t_1)=u_2(t_1)$;

${\begin{array}{c}d{u}_1/dt\end{array}|}_0={\begin{array}{c}d{u}_2/dt\end{array}|}_T$;

${\begin{array}{c}d{u}_1/dt\end{array}|}_{t_1}={\begin{array}{c}d{u}_2/dt\end{array}|}_{t_1}$.

Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при $L=1$ Гн, $C=1$ Ф, $G=0,2$ См, $U_0=1$ B и $k=2$:

$a_1=4,66464104629771$,B; $a_2=1$,B; $b_1=2,13803529592679$,B; $b_2=0,0116873463357039$,B; $t_1=2,78836465601698$,с; $T=6,55583946961978$, с.

Рис.1. Колебание, близкое к гармоническому

В случае $G>\sqrt{C/L}$ генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности $u(t)$ и $du/dt$ в точках сшивания $t=0$ , $t=t_1$ и $t=T$.

Дифференциальная проводимость $g(u)$ может быть задана и иным образом.