P-группа

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

Примеры

• Циклическая группа порядка $p^n$ и прямые произведения таких групп.
  • Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
• Группа Гейзенберга по модулю $p$ — простейший пример некоммутативной p-группы.
• Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.
• Силовские p-группы (см. Теоремы Силова)

Свойства

• Центр $Z(P)$ нетривиальной конечной p-группы $P$ является нетривиальной группой.
  • В частности, все p-группы нильпотентны.
  • Более того, если $H$ нормальная подгруппа в p-группе $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$.
    • Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
• Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
  • Более того любая группа порядка $p^n$ является p-группой (следует из теоремы Лежандра).
• При $n\to \mathrm{\infty }$ число неизоморфных групп порядка $p^n$ асимптотически равно

  $p^{\frac{2}{27}\cdot n^3+O(n)}$.

См. также

• Задача Бёрнсайда

Литература

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.)
• Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.