Ассоциатор

Ассоциатор в общей алгебре — трилинейное отображение $R\times R\times R\to R$ над кольцом (не обязательно ассоциативным) $R$, определяемое по формуле:

$[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$.

Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.

Свойства

В любом кольце для ассоциатора верно тождество:

$w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]$.

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть:

$[x_1,x_2,x_3]=\mathrm{sgn}\sigma [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]$,

где $\sigma$ — перестановка трёх элементов, а $\mathrm{sgn}\sigma$ — чётность этой перестановки.

Теория категорий

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм:

$a_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes (y\otimes z)$.

Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра