Гомологическая сфера

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры

• Сфера Пуанкаре
• Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p + y^q + z^r = 0 в ${ℂ}^3$ при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если $1/p+1/q+1/r\le 1$, то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Свойства

• Гомологическая сфера связна.
• Фундаментальная группа $\mathrm{\Gamma }$ гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
• Пусть $n⩾5$. Группа $\mathrm{\Gamma }$ является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда:
  1. $\mathrm{\Gamma }$ конечно задана;
  2. $H_1(\mathrm{\Gamma })=0$;
  3. $H_2(\mathrm{\Gamma })=0$.
• Группа $\mathrm{\Gamma }$ является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
  1. $\mathrm{\Gamma }$ задана равным числом образующих и соотношений, и
  2. $H_1(\mathrm{\Gamma })=0$.
  • Неизвестно, верно ли обратное.
• Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
• Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Вариации и обобщения

• Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.