Группа Баумслага — Солитера

Граф Кэли группы $BS(1,2)$.

Группа Баумслага — Солитера  — группа с двумя образующими $a$ и $b$ и одним соотношением

$a{b}^m{a}^{-1}=b^n.$

Обычно, эта группа обычно обозначается $BS(m,n)$.

Примеры и свойства

• $BS(1,1)$ это свободная абелева группа с двумя образующими,
• $BS(1,-1)$ фундаментальная группа бутылки Клейна
• $BS(1,n)$ при $n>1$ изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями $a:x\to nx$ и $b:x\to x+1$.
• Группа $BS(2,3)$ (наряду с остальными группами $BS(m,n)$, для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы. А именно, эпиморфизм $\phi :a\mapsto a,\phi :b\mapsto b^2$ не является автоморфизмом $BS(2,3)$.
• Группа $BS(n,m)$ допускает линейное представление $a\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ and $b\mapsto \left(\begin{array}{cc}\frac{n}{m}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.
  • Это преставление не является эффективным, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
• Группа $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$, $|n|=1$, или $|m|=|n|$

Ссылки

• D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group Шаблон:Wayback», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups Шаблон:Wayback, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. Шаблон:MathSciNet