Компланарность

Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Компланарность (Шаблон:Lang-la — совместность, Шаблон:Lang-la — плоский, ровный) — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Свойства

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$такие, что $\overrightarrow{a}={\lambda }_1\overrightarrow{b}+{\lambda }_2\overrightarrow{c}$ для компланарных $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ за исключением случаев $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ или $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ образуют базис. То есть любой вектор $\overrightarrow{d}\in {ℝ}^3$ можно представить в виде: $\overrightarrow{d}=x_1\overrightarrow{a}+x_2\overrightarrow{b}+x_3\overrightarrow{c}$. Тогда $\{x_1,x_2,x_3\}$ будут координатами $\overrightarrow{d}$ в данном базисе.

Обобщения

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.