Коядро

Коядро — теоретико-категорная конструкция, двойственная к ядру: ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения $f (x) = y$ коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять $y$ , чтобы данное уравнение имело решение.

Формально, для категории $𝒞$ с нулевыми морфизмами коядро морфизма $f : X \to Y$ определяется как коуравнитель его и нулевого морфизма $𝟎 : X \to Y$ . Более явно — выполняется следующее универсальное свойство: коядро $f : X \to Y$ — это морфизм $q : Y \to Q$ такой, что:

$q \circ f$ — нулевой морфизм из $X$ в $Q$ ;
коммутативна диаграмма:
для любого морфизма $q^{'} : Y \to Q^{'}$ , такого что $q^{'} \circ f$ — нулевой существует единственный морфизм $u : Q \to Q^{'}$ , такой что коммутативна диаграмма:

Как и другие универсальные конструкции, коядро существует не всегда, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Как и любые коуравнители, коядро — всегда эпиморфизм. Обратно, эпиморфизм называется нормальным (иногда — конормальным), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной, если любой эпиморфизм в ней нормален.

В абелевой категории образ и кообраз морфизма задаются как:

i m (f) = \ker (c o k e r f)

c o i m (f) = c o k e r (\ker f)

.

В частности, любой эпиморфизм является своим собственным коядром.

Литература

Коядро

Литература

Навигация

Поиск