Неравенство Виртингера

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : R → R является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)dx=0$.

Тогда

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}^2(x)dx\le \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f{\text{'}}^2(x)dx$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

$f(x)=a\sin x+b\cos x$, при каких-то a и b

или, что то же самое,

$f(x)=c\sin (x+d)$ при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.

Современное состояние проблемы

Легко увидеть, что неравенство Виртингера связывает нормы в пространстве $L^2$ производной и самой функции:

${\Vert f\Vert }_{L^2}^2\le {\Vert f^{\prime }\Vert }_{L^2}^2$

В такой форме неравенство является одномерным аналогом неравенства Фридрихса.

Ясно, что можно пробовать отыскать аналогичное неравенство при различных (и даже разных) нормах в правой и левой частях неравенства. Эта задача интенсивно исследовалась многими математиками, достаточно сказать, что в одной обзорной статье по неравенству Виртингера была приведено более 200 ссылок на работы различных авторов. Во многих случаях найдены как точные константы, которые надо поставить перед нормой производной, так и экстремальные функции, на которых неравенство обращается в равенство.