Неравенство Фридрихса

Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Шаблон:Не переведено. Оно указывает границу для L^p-нормы функции, используя L^p границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева.

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства Rⁿ с диаметром d. Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева $W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ (то есть $u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ и tr u = 0). Тогда

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p},$

где

• $\Vert -{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$ обозначает L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультииндекс с нормой |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — смешанная частная производная

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}.$

Близким результатом является Шаблон:Не переведено.