Поверхность Эннепера

кусок поверхности Эннепера

Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности.

Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.

Уравнения

• Поверхность Эннепера может быть описана параметрически как

  $x=u(1-u^2/3+v^2)/3,$

  $y=-v(1-v^2/3+u^2)/3,$

  $z=(u^2-v^2)/3.$

• Параметризация Вейерштрасса — Эннепера задаётся $f(z)=1$ и $g(z)=z$.

• Является множеством нулей многочлена степени 9:

$64z^9-128z^7+64z^5-702x^2{y}^2{z}^3-18x^2{y}^{2}z+144(y^2{z}^6-x^2{z}^6)+$

$+162(y^4{z}^2-x^4{z}^2)+27(y^6-x^6)+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^2{z}^3+y^2{z}^3)-$

$-432(x^2{z}^5+y^2{z}^5)+81(x^4{y}^2-x^2{y}^4)+240(y^2{z}^4-x^2{z}^4)-135(x^4{z}^3+y^4{z}^3)=0.$

Свойства

• Касательная плоскость в точке с заданными параметрами $(u,v)$ в форме $a+bx+cy+dz=0$:

  $a=-(u^2-v^2)(1+u^2/3+v^2/3),$

  $b=6u,$

  $c=6v,$

  $d=-3(1-u^2-v^2).$

  • Коэффициенты удовлетворяют уравнению 6-й степени

    $162a^2{b}^2{c}^2+6b^2{c}^2{d}^2-4(b^6+c^6)+54(a{b}^{4}d-a{c}^{4}d)+81(a^2{b}^4+a^2{c}^4)+$

    $+4(b^4{c}^2+b^2{c}^4)-3(b^4{d}^2+c^4{d}^2)+36(a{b}^2{d}^3-a{c}^2{d}^3)=0.$

• Якобиан $J$, гауссова кривизна $K$ и средняя кривизна $H$:

$J=(1+u^2+v^2{)}^4/81,$

$K=-(4/9)/J,$

$H=0.$

• Полная кривизна равна $-4\pi$.
  • Полная минимальная поверхность в ${ℝ}^3$ с полной кривизной $-4\pi$ является либо катеноидом, либо поверхностью Эннепера.

Вариации и обобщения

Допускает обобщение с симметриями вращения более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса — Эннепера $f(z)=1,g(z)=z^k$ для целого числа $k>1$.

Внешние ссылки

• Шаблон:Springer
• Enneper's Surface
• The Generalized Enneper's Surfaces // The Scientific Graphics Project