Параметризация Вейерштрасса — Эннепера

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.

Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности ещё в 1863 году.

Параметризация

Пусть $f$ и $g$ будут функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где $g$ является мероморфной, а $f$ является голоморфной и пусть $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ будут константами. При этом, что $g$ имеет полюс порядка $m$ , $f$ имеет нуль порядка $2 m$ (эквивалентно: $f g^{2}$ является голоморфной функцией). Тогда поверхность с координатами $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ является минимальной, где $x_{k}$ определяется как вещественная часть комплексного интеграла:

\begin{matrix} x_{k} (ζ) & = R e {\int_{0}^{ζ} φ_{k} (z) d z} + c_{k}, k = 1, 2, 3 \\ φ_{1} & = f (1 - g^{2}) / 2 \\ φ_{2} & = 𝐢 f (1 + g^{2}) / 2 \\ φ_{3} & = f g \end{matrix}

Более того, любая непланарная минимальная поверхность, параметризованная односвязной областью может быть параметризована таким образомШаблон:Sfn.

Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию $f (z) = 1, g (z) = z^{m}$ .

Параметрическая поверхность комплексных переменных

Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность $X$ ( $ℝ^{3}$ ) на комплексной плоскости ( $ℂ$ ). Пусть $ω = u + v i$ (комплексная плоскость как пространство $u v$ ), матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:

𝐉 = [\begin{matrix} (1 - g^{2} (ω)) f (ω) \\ i (1 + g^{2} (ω)) f (ω) \\ 2 g (ω) f (ω) \end{matrix}]

Здесь $f (ω)$ и $g (ω)$ являются голоморфными функциями от $ω$ .

Якобиан $𝐉$ представляет два ортогональных касательных к поверхности вектораШаблон:Sfn:

𝐗_{𝐮} = [\begin{matrix} Re 𝐉_{1} \\ Re 𝐉_{2} \\ Re 𝐉_{3} \end{matrix}] 𝐗_{𝐯} = [\begin{matrix} - Im 𝐉_{1} \\ - Im 𝐉_{2} \\ - Im 𝐉_{3} \end{matrix}]

Нормаль к поверхности задаётся выражением:

\hat{𝐧} = \frac{𝐗_{𝐮} \times 𝐗_{𝐯}}{| 𝐗_{𝐮} \times 𝐗_{𝐯} |} = \frac{1}{| g |^{2} + 1} [\begin{matrix} 2 Re g \\ 2 Im g \\ | g |^{2} - 1 \end{matrix}]

Якобиан $𝐉$ приводит к ряду важных свойств: $𝐗_{𝐮} \cdot 𝐗_{𝐯} = 0$ , ${𝐗_{𝐮}}^{2} = Re (𝐉^{2})$ , ${𝐗_{𝐯}}^{2} = Im (𝐉^{2})$ , $𝐗_{𝐮 𝐮} + 𝐗_{𝐯 𝐯} = 0 .$

Доказательство можно найти в статье Шарма: Представление Вейерштрасса всегда даёт минимальную поверхностьШаблон:Sfn. Производные могут быть использованы для построения матрицы первой квадратичной формы :

[\begin{matrix} 𝐗_{𝐮} \cdot 𝐗_{𝐮} & 𝐗_{𝐮} \cdot 𝐗_{𝐯} \\ 𝐗_{𝐯} \cdot 𝐗_{𝐮} & 𝐗_{𝐯} \cdot 𝐗_{𝐯} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

и матрицы второй квадратичной формы

[\begin{matrix} 𝐗_{𝐮 𝐮} \cdot \hat{𝐧} & 𝐗_{𝐮 𝐯} \cdot \hat{𝐧} \\ 𝐗_{𝐯 𝐮} \cdot \hat{𝐧} & 𝐗_{𝐯 𝐯} \cdot \hat{𝐧} \end{matrix}]

Наконец, точка $ω_{t}$ на комплексной плоскости отображается в точку $𝐗$ на минимальной поверхности в $ℝ^{3}$ :

𝐗 = [\begin{matrix} Re \int_{ω_{0}}^{ω_{t}} 𝐉_{1} d ω \\ Re \int_{ω_{0}}^{ω_{t}} 𝐉_{2} d ω \\ Re \int_{ω_{0}}^{ω_{t}} 𝐉_{3} d ω \end{matrix}]

где $ω_{0} = 0$ для всех минимальных поверхностей, за исключением Шаблон:Нп5, где $ω_{0} = (1 + i) / 2$ .

Вложенные минимальные поверхности и примеры

Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в $ℝ^{3}$ с конечной топологией включают плоскость, катеноид, геликоид и Шаблон:Нп5. Поверхность Коста вовлекает эллиптическую функцию Вейерштрасса $℘$ Шаблон:Sfn:

g (ω) = \frac{A}{℘^{'} (ω)}

f (ω) = ℘ (ω)

Здесь $A$ является константойШаблон:Sfn.

Геликатеноид

Выбрав функции $f (ω) = e^{- i α} e^{ω / A}$ и $g (ω) = e^{- ω / A}$ , получим семейство минимальных поверхностей:

$φ_{1} = e^{- i α} \sinh (\frac{ω}{A})$

$φ_{2} = i e^{- i α} \cosh (\frac{ω}{A})$

$φ_{3} = e^{- i α}$

$𝐗 (ω) = Re [\begin{matrix} e^{- i α} A \cosh (\frac{ω}{A}) \\ i e^{- i α} A \sinh (\frac{ω}{A}) \\ e^{- i α} ω \end{matrix}] = \cos (α) [\begin{matrix} A \cosh (\frac{Re (ω)}{A}) \cos (\frac{Im (ω)}{A}) \\ - A \cosh (\frac{Re (ω)}{A}) \sin (\frac{Im (ω)}{A}) \\ Re (ω) \end{matrix}] + \sin (α) [\begin{matrix} A \sinh (\frac{Re (ω)}{A}) \sin (\frac{Im (ω)}{A}) \\ A \sinh (\frac{Re (ω)}{A}) \cos (\frac{Im (ω)}{A}) \\ Im (ω) \end{matrix}]$

Выберем параметры поверхности $ω = s + i (A ϕ)$ :

$𝐗 (s, ϕ) = \cos (α) [\begin{matrix} A \cosh (\frac{s}{A}) \cos (ϕ) \\ - A \cosh (\frac{s}{A}) \sin (ϕ) \\ s \end{matrix}] + \sin (α) [\begin{matrix} A \sinh (\frac{s}{A}) \sin (ϕ) \\ A \sinh (\frac{s}{A}) \cos (ϕ) \\ A ϕ \end{matrix}]$

В экстремальных точках поверхность является катеноидом $(α = 0)$ или геликоидом $(α = π / 2)$ . В остальном $α$ представляет угол совмещения. Результирующая поверхность, при выборе области определения во избежание самопересечений, представляет собой цепочку, вращающуюся вокруг оси $𝐗_{3}$ по спирали.