Ассоциированное семейство

Анимация, показывающая изменение геликоида при изменении $\theta$.

Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные ВейерштрассаШаблон:R. То есть, если поверхность имеет представление

$x_k(\zeta )=\mathrm{\Re }\{\underset{0}{\overset{\zeta }{\int }}{\phi }_k(z)dz\}+c_k,k=1,2,3$

семейство описывается формулой

$x_k(\zeta ,\theta )=\mathrm{\Re }\{e^{i\theta }\underset{0}{\overset{\zeta }{\int }}{\phi }_k(z)dz\}+c_k,\theta \in [0,2\pi ]$

При $\theta =\pi /2$ поверхность называется сопряжённой поверхности $\theta =0$Шаблон:R.

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным $\zeta$ остаются неизменными при изменении $\theta$. Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении $\theta$.

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольникомШаблон:R.

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразийШаблон:R.