Поверхность Шерка

Анимация превращения друг в друга первой и второй поверхностей Шерка: они являются членами одного и того же ассоциированного семейства минимальных поверхностей.

Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 годуШаблон:Sfn. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая — просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первые две — катеноид и геликоид). Две поверхности сопряжены друг другу.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.

Первая поверхность Шерка

Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

Поверхность Шерка Σ, заданная как график функции $u(x,y)=\log (\cos (x)/\cos (y))$ для x и y между $-\pi /2$ и $\pi /2$.

Девять периодов поверхности Шерка.

Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность ${\mathrm{\Sigma }}_n$ как график некоторой функции

$u_n:(-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\times (-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\to ℝ$

так что

$\underset{y\to \pm \pi /2}{\lim }{u}_n(x,y)=+n$ для $-\frac{\pi }{2}<x<+\frac{\pi }{2},$

$\underset{x\to \pm \pi /2}{\lim }{u}_n(x,y)=-n$ для $-\frac{\pi }{2}<y<+\frac{\pi }{2}.$

То есть, u_n удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\frac{\mathrm{\nabla }{u}_n(x,y)}{\sqrt{1+|\mathrm{\nabla }{u}_n(x,y){|}^2}}\right)\equiv 0$

и

${\mathrm{\Sigma }}_n=\{(x,y,u_n(x,y))\in {ℝ}^3|-\frac{\pi }{2}<x,y<+\frac{\pi }{2}\}.$

Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность $\mathrm{\Sigma }$ является графиком функции

$u:(-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\times (-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2})\to ℝ,$

$u(x,y)=\log \left(\frac{\cos (x)}{\cos (y)}\right).$

То есть поверхность Шерка над квадратом равна

$\mathrm{\Sigma }=\{(x,y,\log \left(\frac{\cos (x)}{\cos (y)}\right))\in {ℝ}^3|-\frac{\pi }{2}<x,y<+\frac{\pi }{2}\}.$

Более общие поверхности Шерка

Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым Шаблон:Не переведено 5.

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.

Поверхность задаётся уравнением:

$\sin (z)-\mathrm{s}\mathrm{h}(x)\mathrm{s}\mathrm{h}(y)=0$

Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера $f(z)=\frac{4}{1-z^4}$, $g(z)=iz$ и может быть параметризована какШаблон:Sfn:

$x(r,\theta )=2\mathrm{\Re }(\ln (1+r{e}^{i\theta })-\ln (1-r{e}^{i\theta }))=\ln \left(\frac{1+r^2+2r\cos \theta }{1+r^2-2r\cos \theta }\right)$

$y(r,\theta )=\mathrm{\Re }(4i{\tan }^{-1}(r{e}^{i\theta }))=\ln \left(\frac{1+r^2-2r\sin \theta }{1+r^2+2r\sin \theta }\right)$

$z(r,\theta )=\mathrm{\Re }(2i(-\ln (1-r^2{e}^{2i\theta })+\ln (1+r^2{e}^{2i\theta }))=2{\tan }^{-1}\left(\frac{2r^2\sin 2\theta }{r^4-1}\right)$

для $\theta \in [0,2\pi )$ и $r\in (0,1)$. Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.

Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство Шаблон:Не переведено 5 периодических минимальных поверхностей.

В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью ШеркаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Чтобы исключить путаницу, полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:SpringerEOM
• Scherk's first surface in MSRI Geometry [1]
• Scherk's second surface in MSRI Geometry [2]
• Scherk's minimal surfaces in Mathworld [3] Шаблон:Wayback