Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Определение

Пара $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ называется предгильбертовым пространством, если $X$ — линейное пространство, а $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — определённое на $X$ скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Норма

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩},x\in X$.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых $x$ (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства

Шаблон:ЯкорьТеорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве $(H,\Vert \cdot \Vert )$ справедлив закон параллелограмма, то $(H,\Vert \cdot \Vert )$ — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение $(\cdot ,\cdot )$ такое, что $\Vert x\Vert =(x,x{)}^{1/2}$.

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом

$L^2([a,b])=\{f:[a,b]\to ℝ|\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx<\mathrm{\infty }\},$

если скалярное произведение определить как

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx,f,g\in L^2([a,b]).$

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

См. также

• Евклидово пространство