Систола поверхности

Систолические неравенства для кривых на поверхностях первым изучал Шаблон:Не переведено 5 в 1949 году (не опубликовано; см. примечание в конце статьи Пу 1952 года). Если дана замкнутая поверхность, её систола, обозначаемая как sys, определяется как петля наименьшей длины, которая не может быть стянута в точку на поверхности. Систолическая площадь метрики определяется как отношение площади и sys². Систолическое отношение SR (от английского Systolic Ratio) равно обратной величине, то есть sys²/площадь. См. также статью Шаблон:Не переведено 5.

Тор

Кратчайшая петля на торе

В 1949 году Шаблон:Не переведено 5 доказал Шаблон:Не переведено 5 для метрик на торе T², а именно, что систолическое отношение SR(T²) ограничено сверху величиной $2/\sqrt{3}$, с равенством на плоском (постоянной кривизны) случае равностороннего тора (см. Шестиугольная решётка).

Вещественная проективная плоскость

Похожий результат даёт неравенство Пу для вещественной проективной плоскости, полученный в 1952 году Пу Баомином с верхней границей $\pi /2$ для систолического отношения SR(RP²), которое также превращается в равенство в случае постоянной кривизны.

Бутылка Кляйна

Стеклянная бутылка Клейна ручной работы (эмуляция)

Для бутылки Кляйна K Бавард (1986) получил оптимальную верхнюю границу $\pi /\sqrt{8}$ для систолического отношения:

$\mathrm{S}\mathrm{R}(K)⩽\frac{\pi }{\sqrt{8}},$

на основе работы Блаттера 1960-х годов.

Род 2

Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет границе Лёвнера $\mathrm{S}\mathrm{R}(2)⩽\frac{2}{\sqrt{3}}$ (см. статью Катца и СабуруШаблон:Sfn). Неизвестно, удовлетворяет ли любая поверхность с положительным родом границе Лёвнера. Есть гипотеза, что все они удовлетворяют. Ответ положителен для рода 20 и вышеШаблон:Sfn.

Произвольный род

Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго (1980) показали, что систолическое отношение SR(g) ограничено сверху константой 2. Тремя годами позже Михаил Громов нашёл верхнюю границу SR(g) с точностью до постоянного множителя

$\frac{(\log g{)}^2}{g}.$

Похожая нижняя граница (с аналогичной константой) получена Бузером и Сарнаком, а именно: они привели арифметические гиперболические римановы поверхности с систолами, дающими $\log (g)$ с точностью до постоянного множителя. Заметим, что площадь равна $4\pi (g-1)$ по теореме Гаусса — Бонне, так что SR(g) ведёт себя с точностью до постоянного множителя как $\frac{(\log g{)}^2}{g}$.

Изучение для большого рода $g$ асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей раскрывает несколько интересных констант. Так, поверхности Гурвица ${\mathrm{\Sigma }}_g$, определённые башней главных конгруэнцподгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют границе

$\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}({\mathrm{\Sigma }}_g)⩾\frac{4}{3}\log g,$

которая получается из анализа Шаблон:Не переведено 5. Похожая граница выполняется для более общих арифметических фуксовых групп. Этот результат 2007 года Михаила Гершевича Каца, Мэри Шапс и Узи Вишне улучшает неравенство Питера Сарнака и Питера Бузера 1994 года для случая арифметических групп, определённых над $\mathbb{Q}$, которое содержало ненулевую аддитивную постоянную. Для поверхностей Гурвица главного типа конгруэнтности систолическое отношение SR(g) асимптотически стремится к

$\frac{4}{9\pi }\frac{(\log g{)}^2}{g}.$

При использовании неравенства энтропии Катока была найдена следующая асимптотическая верхняя граница для SR(g)Шаблон:Sfn:

$\frac{(\log g{)}^2}{\pi g},$

см. также статью КатцаШаблон:Sfn. Комбинируя две оценки, получаем жёсткие границы систолического отношения поверхностей.

Сфера

Имеется также версия неравенства для метрик на сфере для инварианта L, определённого как наименьшая длина замкнутой геодезической метрики. В 1980 году Громов высказал гипотезу, что для отношения площадь/L² нижней границей является $\frac{1}{2}\sqrt{3}$. Нижняя граница в 1/961, полученная Кроке в 1988 году была недавно улучшена Набутовским, Ротман и Сабуру.

См. также

• Дифференциальная геометрия поверхностей

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья